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Chapitre III. Réductions et preuves
L’intégrale intérieure ci-dessus multipliée par ce facteur devient
J
G
M (γ , (
u f ) G ,
u K )
et on obtient la formule de l’énoncé.
Si γ est unipotent, on a une égalité
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = lim
a→1
L∈L(M)
r
L
M (γ, q(a))J
G
L (ι
∗
M,M (q(a)γ ), ω, f),
où a ∈ A M (F ) est en position générale, cf. [18] 6.5 ou [II] 1.5. On a des formules similaires pour les termes du membre de droite de l’énoncé. Remarquons
que, d’après une remarque faite plus haut, les mesures qui interviennent implicitement dans ces formules ne dépendent pas de a. En utilisant 3.2(1), on voit que
r
L
M (γ, q(a)) = r
L
M (γ , a). L’assertion de l’énoncé pour γ unipotent se déduit alors
par passage à la limite du cas particulier traité précédemment.
Remarque. La proposition vaut en fait pour tout γ ∈ D g´ eom (V ∩ M (F )) mais
nous ne nous en servirons que pour les γ indiqués.
III.3.4 Germes de Shalika et revêtement
On conserve les données du paragraphe précédent.
Proposition.
(i) Pour γ ∈ D g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine,
on a l’égalité
g
G
M,unip ◦ ι
∗
M,M (γ ) = ι
∗
G,G ◦ g
G
M,unip (γ ).
(ii) Pour γ ∈ D g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez voisin de l’origine, on a
l’égalité
g
G
M,unip (γ) = g
G
M,unip ◦ ι
∗
M,M ◦ ι
∗
M,M (γ).
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur les groupes G(F ), G (F ) etc. . . se correspondant comme en 3.1. Soient γ ∈ D g´ eom,G -équi (M (F )) et f ∈ C
∞
c (G(F )).
Si γ est assez voisin de l’origine, on a l’égalité
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) =
L∈L(M)
J
G
L (g
L
M,unip ◦ ι
∗
M,M (γ ), ω, f).
Pour L = G, nos hypothèses de récurrence nous permettent d’appliquer la proposition à prouver : on a
g
L
M,unip ◦ ι
∗
M,M (γ ) = ι
∗
L,L ◦ g
L
M,unip (γ ).