III.3. Passage à un revêtement
349
M ,aγ (F ) = M ,γ (F ), la mesure déduite sur M q(a)γ (F ) = M γ (F ) ne change
pas. Supposons d’abord que γ soit G -équisingulier. Si ω n’est pas trivial sur
M γ (F ), on vérifie facilement que les deux membres de l’égalité de l’énoncé sont
nuls. Supposons que ω soit trivial sur M γ (F ). Alors
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f)
= J
G
M (γ, ω, f ) = D
G (γ)
1/2
Mγ (F )\G(F )
f (x
−1 γx)ω(x)v
G
M (x) dx
= D
G (γ)
1/2 D
M (γ)
−1/2
M(F )\G(F )
I
M (γ, ω, (
x f ) M )ω(x)v
G
M (x) dx,
où (
x f ) M est la fonction y → f (x
−1 yx) sur M (F ). Puisque l’intégrale orbitale
I
M (γ, ω, .) est par définition l’image par ι
∗
M,M de l’intégrale orbitale I
M (γ , .),
la définition de ι
∗
M,M entraîne
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = D
G (γ)
1/2 D
M (γ)
−1/2
M(F )\G(F )
|U|
−1
u∈U
I
M (γ , (
ux f ) M )ω(ux)v
G
M (ux) dx,
avec une définition évidente de (
ux f ) M . Par définition de U, cette expression se
récrit
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = D
G (γ)
1/2 D
M (γ)
−1/2
|U|
−1
q(M (F ))\G(F )
I
M (γ , (
x f ) M )ω(x)v
G
M (x) dx.
L’application
(M (F )\G (F )) × U → q(M (F ))\G(F )
(x, u)
→
q(x)u
est bijective. On vérifie qu’elle préserve les mesures, si on met sur U la mesure de
comptage. L’expression précédente se récrit
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = D
G (γ)
1/2 D
M (γ)
−1/2
|U|
−1
u∈U
M(F )\G(F )
I
M (γ , (
xu f ) M )ω(xu)v
G
M (xu) dx.
Pour u ∈ U et x ∈ G (F ), on vérifie que v
G
M (xu) est égal au poids v
G
M (x,
u K ) calculé relativement au compact
u K (on utilise ici la compatibilité entre les mesures
sur A
G
M et sur A
G
M ). On a de plus l’égalité
D
G (γ)
1/2 D
M (γ)
−1/2 = D
G (γ )
1/2 D
M (γ )
−1/2 .