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Chapitre III. Réductions et preuves
De l’identification ci-dessus entre ensembles de racines se déduit une identification entre J
G
M et J
G
M . Pour un élément J de cet ensemble, on a défini un espace
U J de germes de fonctions sur A M (F ) et, de même, un espace U J,, de germes de
fonctions sur A M (F ). L’espace U J,, est celui des fonctions u ◦ q pour u ∈ U J . On
identifie ainsi ces deux espaces. On a défini en [II] 3.2 des applications ρ
G
J et ρ
G
J .
Dans leur définition interviennent des mesures sur A
G
M et A
G
M . On suppose que
ces mesures se correspondent par la bijection déduite de q entre ces espaces. On a
(2) le diagramme suivant est commutatif
D unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G
↑ ι
∗
M,M
↑ ι
∗
M,M
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G .
Cela résulte des définitions des applications et de (1).
Variante. Supposons a = 1 et supposons donnée une fonction B comme en [II]
1.8. Cette fonction se remonte à G . On sait alors définir les variantes ρ
G (α, u, B),
Σ(A M , B) etc. . . des termes considérés ci-dessus. Ces variantes vérifient les mêmes
propriétés.
III.3.3 Intégrales orbitales pondérées et revêtement
Soit M un Levi de G. Rappelons que les intégrales orbitales pondérées dépendent
du choix d’un sous-groupe compact spécial K de G(F ) en bonne position relativement à M . Si besoin est, on introduit ce compact dans la notation pour la
préciser : J
G
M (γ, ω, f , K). Ce compact étant fixé, on note K son image réciproque
dans G (F ). C’est un sous-groupe compact spécial de G (F ) (il est associé au
même point spécial de l’immeuble de G ,AD = G AD ). Pour g ∈ G(F ), on pose
g K = ad g (K ). Les intégrales orbitales pondérées dépendent aussi de mesures sur
A
G
M et A
G
M . Comme dans le paragraphe précédent, on suppose que ces mesures
se correspondent par l’isomorphisme déduit de q entre ces espaces.
Fixons des mesures sur nos différents groupes G(F ), G (F ), etc. . . qui se
correspondent comme en 3.1.
Lemme. Pour tout γ ∈ D g´ eom (V ∩ M (F )) à support G -équisingulier ou unipotent et tout f ∈ C
∞
c (G(F )), on a l’égalité
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = |U|
−1
u∈U
ω(u)J
G
M (γ , (
u f ) G ,
u K ).
Preuve. On peut supposer que γ est l’intégrale orbitale associée à un élément
γ ∈ M (F ) et à une certaine mesure sur M ,γ (F ). Par un calcul similaire à celui
de la preuve du lemme 3.1, ι M,M (γ ) est l’intégrale orbitale associée à l’élément
γ = q(γ ), et à une certaine mesure sur M γ (F ). Remarquons en passant que, si
on remplace γ par aγ , avec a ∈ A M (F ) et si on conserve la même mesure sur
Chapitre III. Réductions et preuves
De l’identification ci-dessus entre ensembles de racines se déduit une identification entre J
G
M et J
G
M . Pour un élément J de cet ensemble, on a défini un espace
U J de germes de fonctions sur A M (F ) et, de même, un espace U J,, de germes de
fonctions sur A M (F ). L’espace U J,, est celui des fonctions u ◦ q pour u ∈ U J . On
identifie ainsi ces deux espaces. On a défini en [II] 3.2 des applications ρ
G
J et ρ
G
J .
Dans leur définition interviennent des mesures sur A
G
M et A
G
M . On suppose que
ces mesures se correspondent par la bijection déduite de q entre ces espaces. On a
(2) le diagramme suivant est commutatif
D unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G
↑ ι
∗
M,M
↑ ι
∗
M,M
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
G
J
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G .
Cela résulte des définitions des applications et de (1).
Variante. Supposons a = 1 et supposons donnée une fonction B comme en [II]
1.8. Cette fonction se remonte à G . On sait alors définir les variantes ρ
G (α, u, B),
Σ(A M , B) etc. . . des termes considérés ci-dessus. Ces variantes vérifient les mêmes
propriétés.
III.3.3 Intégrales orbitales pondérées et revêtement
Soit M un Levi de G. Rappelons que les intégrales orbitales pondérées dépendent
du choix d’un sous-groupe compact spécial K de G(F ) en bonne position relativement à M . Si besoin est, on introduit ce compact dans la notation pour la
préciser : J
G
M (γ, ω, f , K). Ce compact étant fixé, on note K son image réciproque
dans G (F ). C’est un sous-groupe compact spécial de G (F ) (il est associé au
même point spécial de l’immeuble de G ,AD = G AD ). Pour g ∈ G(F ), on pose
g K = ad g (K ). Les intégrales orbitales pondérées dépendent aussi de mesures sur
A
G
M et A
G
M . Comme dans le paragraphe précédent, on suppose que ces mesures
se correspondent par l’isomorphisme déduit de q entre ces espaces.
Fixons des mesures sur nos différents groupes G(F ), G (F ), etc. . . qui se
correspondent comme en 3.1.
Lemme. Pour tout γ ∈ D g´ eom (V ∩ M (F )) à support G -équisingulier ou unipotent et tout f ∈ C
∞
c (G(F )), on a l’égalité
J
G
M (ι
∗
M,M (γ ), ω, f) = |U|
−1
u∈U
ω(u)J
G
M (γ , (
u f ) G ,
u K ).
Preuve. On peut supposer que γ est l’intégrale orbitale associée à un élément
γ ∈ M (F ) et à une certaine mesure sur M ,γ (F ). Par un calcul similaire à celui
de la preuve du lemme 3.1, ι M,M (γ ) est l’intégrale orbitale associée à l’élément
γ = q(γ ), et à une certaine mesure sur M γ (F ). Remarquons en passant que, si
on remplace γ par aγ , avec a ∈ A M (F ) et si on conserve la même mesure sur