III.3. Passage à un revêtement
347
III.3.2 Les termes ρ
G
J
Soit M un espace de Levi de G. On note M , resp. M , son image réciproque dans
G , resp. G . Remarquons que l’application naturelle
q(M (F ))\M (F ) q(G (F ))\G(F )
est bijective. Son injectivité est immédiate. Pour la surjectivité, il suffit de traiter
le cas où M est un Levi minimal de G. On fixe P ∈ P(M ) et on note P son image
réciproque dans G . Alors (P , M ) est aussi une paire parabolique minimale de
G . Pour g ∈ G(F ), ad g (P , M ) est encore une paire parabolique minimale de
G . Deux telles paires étant toujours conjuguées par un élément de G (F ), on
peut multiplier g à gauche par un élément de q(G (F )) de sorte que ad g conserve
(P , M ). Mais alors ad g conserve (P, M ) donc g ∈ M (F ). D’où la surjectivité
requise.
En conséquence, on peut supposer que l’ensemble U de 3.1 est contenu dans
M (F ). On voit que les applications linéaires définies en 3.1 commutent au passage
au terme constant. C’est-à-dire que, pour f ∈ I(V, ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
ι M,M (f M,ω ) = (ι G,G (f ) M )
et, pour ϕ ∈ I(V (F )) ⊗ Mes(G (F )), on a l’égalité
ι M,M (ϕ M ) = (ι G,G (ϕ)) M,ω .
On a des formules duales de commutation à l’induction.
L’application q se restreint en une bijection entre les ensembles d’éléments
unipotents de M (F ) et de M (F ). On a aussi une bijection entre les ensembles de
racines Σ(A M ) et Σ(A M ). Enfin, de q se déduit un plongement q : A M → A M .
Soit u un élément unipotent de M (F ) et α ∈ Σ(A M ). On a défini un élément
ρ
G (α, u) ∈ A M en [II] 1.4. Modulo l’identification ci-dessus, on a aussi un élément
ρ
G (α, q(u)) ∈ A M . On a
(1) ρ
G (α, q(u)) = q(ρ
G (α, u)).
Preuve. On n’en donne qu’une esquisse. On montre d’abord la même égalité
pour les termes primitifs définis par Arthur, c’est-à-dire l’égalité ρ
G,Art (α, q(u)) =
q(ρ
G,Art (α, u)). Pour cela, on applique comme dans les preuves de [II] 1.4 la caractérisation de ces termes par les fonctions W ω (a, π) de [9] (3.8). On compare
aisément ces fonctions pour G et G et l’assertion en résulte. Ensuite, à tout élément α ∈ Σ(A M ) sont associés deux groupes G α et G ,α . On voit que ces groupes
sont reliés de la même façon que G et G , c’est-à-dire que l’on a une suite exacte
1 → Ξ → Z × G α,,
q
→ G α → 1.
La définition par récurrence des termes ρ
G (α, q(u)) et ρ
G (α, u) conduit alors au
résultat.
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III.3.2 Les termes ρ
G
J
Soit M un espace de Levi de G. On note M , resp. M , son image réciproque dans
G , resp. G . Remarquons que l’application naturelle
q(M (F ))\M (F ) q(G (F ))\G(F )
est bijective. Son injectivité est immédiate. Pour la surjectivité, il suffit de traiter
le cas où M est un Levi minimal de G. On fixe P ∈ P(M ) et on note P son image
réciproque dans G . Alors (P , M ) est aussi une paire parabolique minimale de
G . Pour g ∈ G(F ), ad g (P , M ) est encore une paire parabolique minimale de
G . Deux telles paires étant toujours conjuguées par un élément de G (F ), on
peut multiplier g à gauche par un élément de q(G (F )) de sorte que ad g conserve
(P , M ). Mais alors ad g conserve (P, M ) donc g ∈ M (F ). D’où la surjectivité
requise.
En conséquence, on peut supposer que l’ensemble U de 3.1 est contenu dans
M (F ). On voit que les applications linéaires définies en 3.1 commutent au passage
au terme constant. C’est-à-dire que, pour f ∈ I(V, ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
ι M,M (f M,ω ) = (ι G,G (f ) M )
et, pour ϕ ∈ I(V (F )) ⊗ Mes(G (F )), on a l’égalité
ι M,M (ϕ M ) = (ι G,G (ϕ)) M,ω .
On a des formules duales de commutation à l’induction.
L’application q se restreint en une bijection entre les ensembles d’éléments
unipotents de M (F ) et de M (F ). On a aussi une bijection entre les ensembles de
racines Σ(A M ) et Σ(A M ). Enfin, de q se déduit un plongement q : A M → A M .
Soit u un élément unipotent de M (F ) et α ∈ Σ(A M ). On a défini un élément
ρ
G (α, u) ∈ A M en [II] 1.4. Modulo l’identification ci-dessus, on a aussi un élément
ρ
G (α, q(u)) ∈ A M . On a
(1) ρ
G (α, q(u)) = q(ρ
G (α, u)).
Preuve. On n’en donne qu’une esquisse. On montre d’abord la même égalité
pour les termes primitifs définis par Arthur, c’est-à-dire l’égalité ρ
G,Art (α, q(u)) =
q(ρ
G,Art (α, u)). Pour cela, on applique comme dans les preuves de [II] 1.4 la caractérisation de ces termes par les fonctions W ω (a, π) de [9] (3.8). On compare
aisément ces fonctions pour G et G et l’assertion en résulte. Ensuite, à tout élément α ∈ Σ(A M ) sont associés deux groupes G α et G ,α . On voit que ces groupes
sont reliés de la même façon que G et G , c’est-à-dire que l’on a une suite exacte
1 → Ξ → Z × G α,,
q
→ G α → 1.
La définition par récurrence des termes ρ
G (α, q(u)) et ρ
G (α, u) conduit alors au
résultat.