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Chapitre III. Réductions et preuves
Ce lemme entraîne que les applications linéaires définies ci-dessus se quotientent en des applications linéaires
ι G,G : I(V, ω) → I(V )
et
ι G,G : I(V ) → I ac (V, ω).
Ces applications ne dépendent pas du choix de l’ensemble U. Dualement, on a des
applications linéaires
ι
∗
G,G : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V, ω),
ι
∗
G,G : D g´ eom (V, ω) → D g´ eom (V ).
Décrivons plus complètement ces applications. De l’action adjointe de G(F ) sur
G (F ) se déduit une action de G(F ) sur D g´ eom (V ). Notons D g´ eom (V )
G(F ),ω le
sous-espace des γ ∈ D g´ eom (V ) tels que ad(g)(γ) = ω(g)γ pour tout g ∈ G(F ).
Puisque cette action se quotiente en l’action du groupe fini q(G (F ))\G(F ), on a
une projection naturelle
p : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V )
G(F ),ω .
Notons d’autre part D g´ eom (V, ω) le sous-espace des éléments de D g´ eom (V, ω) à
support dans q(V ). Alors ι
∗
G,G se factorise en
D g´ eom (V )
p
→ D g´ eom (V )
G(F ),ω
ι
∗
G ,G
D g´ eom (V, ω) ⊂ D g´ eom (V, ω).
En sens inverse, tout élément γ ∈ D g´ eom (V, ω) s’écrit de façon unique γ =
z∈Z(F ) zγ z , où γ z ∈ D g´ eom (V, ω) et γ z = 0 pour presque tout z. Notons γ z,,
l’élément de D g´ eom (V )
G(F ),ω tel que γ z = ι
∗
G,G (γ z,, ). Alors
ι
∗
G,G (γ) =
z∈Z(F )
γ z,, .
Remarquons que nos applications dépendent du choix de V . Mais, pour deux
tels voisinages, les applications relatives à chacun de ces voisinages coïncident sur
l’intersection de leurs domaines de définition. En particulier, ι
∗
G,G se restreint en
une application surjective
D unip (G (F )) → D unip (G(F ), ω).
On note encore ι
∗
G,G l’application obtenue en tensorisant ces espaces par les espaces de mesures adéquats.