III.3. Passage à un revêtement
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Preuve de (i). On a par définition
I
G (t , ϕ)|U|
−1
u∈U
ω(u)D
G (t )
1/2
T(F )\G(F )
f (u
−1 q(x
−1 t x)u) dx.
On voit que cette expression ne dépend pas du choix de U. On peut fixer des
ensembles de représentants U
du quotient q(G (F ))\q(G (F ))T (F ) et U
du quotient q(G (F ))T (F )\G(F ) et supposer que U est l’ensemble des produits u
u
avec
u
∈ U
et u
∈ U
. On peut de plus supposer que U
⊂ T (F ). On obtient
I
G (t , ϕ) = |U
|
−1
u ∈U
ω(u
)|U
|
−1
u ∈U
ω(u
)D
G (t )
1/2
T(F )\G(F )
f (u
−1 u
−1 q(x
−1 t x)u
u
) dx.
Pour u
∈ U
⊂ T (F ), l’action ad
−1
u sur G (F ) normalise T (F ) et définit un
automorphisme de T (F )\G (F ) qui préserve la mesure. D’autre part, cette action
fixe t . Par changement de variables, on voit que le terme u
disparaît de l’intégrale
intérieure. L’expression ci-dessus devient
I
G (t , ϕ) = d|U
|
−1
u ∈U
ω(u
)D
G (t )
1/2
T(F )\G(F )
f (u
−1 q(x
−1 t x)u
) dx,
où
d = |U
|
−1
u ∈U
ω(u
).
Si ω est non trivial sur T (F ), d est nul et I
G (t , ϕ) = 0. Mais l’intégrale orbitale
I
G (t, ω, f ) est nulle elle aussi, d’où l’égalité voulue dans ce cas. Supposons que ω
est trivial sur T (F ). Alors d = 1. Pour tout u
∈ U
, l’application
T (F )\G (F ) → T (F )\G(F )
x
→
q(x)u
est un isomorphisme de l’espace de départ sur un ouvert fermé de l’espace d’arrivée.
Il respecte les mesures par définition de celles-ci. Par définition de U
et parce que
Z ⊂ T , T (F )\G(F ) est réunion disjointe des images de ces applications quand u
décrit U
. On obtient
I
G (t , ϕ) = |U
|
−1 D
G (t )
1/2
T (F )\G(F )
f (y
−1 ty)ω(y) dy.
Il est clair que D
G (t ) = D
G (t). Par définition, on a c T = |U
|. Alors la formule
ci-dessus équivaut à
I
G (t , ϕ) = c
−1
T I
G (t, ω, f ),
d’où le (i) de l’énoncé.
Le (ii) se démontre de façon analogue.