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Chapitre III. Réductions et preuves
L’action adjointe de G(F ) sur lui-même se remonte en une action de G(F ) sur
G (F ). Fixons un voisinage ouvert V de 1 dans G (F ) invariant par cette action
de G(F ) et tel que x ∈ V si et seulement si la partie semi-simple de x appartient
à V . On suppose V assez petit pour que V ∩ ξV = ∅ pour tout ξ ∈ Ξ(F ) − {1}.
On pose V = q(Z(F ) × V ). Alors q se restreint en un isomorphisme de Z(F ) × V
sur V .
Rappelons que l’on a défini en [II] 1.6 les espaces C
∞
ac (G(F )) et I ac (G(F ), ω).
On note C
∞
c (V ), resp C
∞
ac (V ), I(V, ω), I ac (V, ω), D g´ eom (V, ω), l’espace des éléments de C
∞
c (G(F )), resp C
∞
ac (G(F )), I(G(F ), ω), I ac (G(F ), ω), D g´ eom (G(F ), ω),
à support dans V .
Le groupe q(G (F )) est un sous-groupe distingué de G(F ), qui est ouvert et
d’indice fini. Fixons un ensemble U de représentants du quotient
q(G (F ))\G(F ).
Pour f ∈ C
∞
c (V ) et u ∈ U, on définit une fonction (
u f ) G sur V par (
u f ) G (x) =
f (u
−1 q(x)u) pour tout x ∈ V . On définit une application linéaire
ι G,G : C
∞
c (V ) → C
∞
c (V )
par ι G,G (f ) = |U|
−1
u∈U ω(u)(
u f ) G . Elle dépend du choix de U.
En sens inverse, on définit une application
ι G,G : C
∞
c (V ) → C
∞
ac (G(F ))
de la façon suivante. Pour ϕ ∈ C
∞
c (G (F )), f = ι G,G (ϕ) est la fonction sur G(F )
qui est nulle hors de V et qui vérifie f (zq(x )) = ϕ(x ) pour tout z ∈ Z(F ) et
x ∈ V .
Fixons un sous-tore maximal T de G et notons T son image réciproque
dans G . De la même façon que ci-dessus, on a un isomorphisme Mes(T (F ))
Mes(T (F )). Fixons des mesures de Haar sur T (F ) et G (F ), donc aussi sur T (F )
et G(F ). Alors, pour t ∈ T (F ) ∩ G ,reg (F ), l’intégrale orbitale I
G (t , .) est bien
définie. C’est un élément de D g´ eom (G (F )). De même, pour t ∈ T (F ) ∩ G reg (F ),
l’intégrale orbitale I
G (t, ω, .) est bien définie. C’est un élément de D g´ eom (G(F ), ω).
Notons c T le nombre d’éléments de l’ensemble de doubles classes
q(G (F ))\G(F )/T (F ).
Lemme. Soient t ∈ T (F ) ∩ V et z ∈ Z(F ). Posons t = q(t ) et supposons
t ∈ G reg (F ).
(i) Soit f ∈ C
∞
c (V ), posons ϕ = ι G,G (f ). On a l’égalité
c
−1
T I
G (t, ω, f ) = I
G (t , ϕ).
(ii) Soit ϕ ∈ C
∞
c (V ), posons f = ι G,G (ϕ). On a l’égalité
c T |U|
−1
u∈U
ω(u)I
G (ad u −1 (t ), ϕ) = I
G (zt, ω, f).
Chapitre III. Réductions et preuves
L’action adjointe de G(F ) sur lui-même se remonte en une action de G(F ) sur
G (F ). Fixons un voisinage ouvert V de 1 dans G (F ) invariant par cette action
de G(F ) et tel que x ∈ V si et seulement si la partie semi-simple de x appartient
à V . On suppose V assez petit pour que V ∩ ξV = ∅ pour tout ξ ∈ Ξ(F ) − {1}.
On pose V = q(Z(F ) × V ). Alors q se restreint en un isomorphisme de Z(F ) × V
sur V .
Rappelons que l’on a défini en [II] 1.6 les espaces C
∞
ac (G(F )) et I ac (G(F ), ω).
On note C
∞
c (V ), resp C
∞
ac (V ), I(V, ω), I ac (V, ω), D g´ eom (V, ω), l’espace des éléments de C
∞
c (G(F )), resp C
∞
ac (G(F )), I(G(F ), ω), I ac (G(F ), ω), D g´ eom (G(F ), ω),
à support dans V .
Le groupe q(G (F )) est un sous-groupe distingué de G(F ), qui est ouvert et
d’indice fini. Fixons un ensemble U de représentants du quotient
q(G (F ))\G(F ).
Pour f ∈ C
∞
c (V ) et u ∈ U, on définit une fonction (
u f ) G sur V par (
u f ) G (x) =
f (u
−1 q(x)u) pour tout x ∈ V . On définit une application linéaire
ι G,G : C
∞
c (V ) → C
∞
c (V )
par ι G,G (f ) = |U|
−1
u∈U ω(u)(
u f ) G . Elle dépend du choix de U.
En sens inverse, on définit une application
ι G,G : C
∞
c (V ) → C
∞
ac (G(F ))
de la façon suivante. Pour ϕ ∈ C
∞
c (G (F )), f = ι G,G (ϕ) est la fonction sur G(F )
qui est nulle hors de V et qui vérifie f (zq(x )) = ϕ(x ) pour tout z ∈ Z(F ) et
x ∈ V .
Fixons un sous-tore maximal T de G et notons T son image réciproque
dans G . De la même façon que ci-dessus, on a un isomorphisme Mes(T (F ))
Mes(T (F )). Fixons des mesures de Haar sur T (F ) et G (F ), donc aussi sur T (F )
et G(F ). Alors, pour t ∈ T (F ) ∩ G ,reg (F ), l’intégrale orbitale I
G (t , .) est bien
définie. C’est un élément de D g´ eom (G (F )). De même, pour t ∈ T (F ) ∩ G reg (F ),
l’intégrale orbitale I
G (t, ω, .) est bien définie. C’est un élément de D g´ eom (G(F ), ω).
Notons c T le nombre d’éléments de l’ensemble de doubles classes
q(G (F ))\G(F )/T (F ).
Lemme. Soient t ∈ T (F ) ∩ V et z ∈ Z(F ). Posons t = q(t ) et supposons
t ∈ G reg (F ).
(i) Soit f ∈ C
∞
c (V ), posons ϕ = ι G,G (f ). On a l’égalité
c
−1
T I
G (t, ω, f ) = I
G (t , ϕ).
(ii) Soit ϕ ∈ C
∞
c (V ), posons f = ι G,G (ϕ). On a l’égalité
c T |U|
−1
u∈U
ω(u)I
G (ad u −1 (t ), ϕ) = I
G (zt, ω, f).