III.3. Passage à un revêtement
343
Ceci n’est autre que I
H,E
M H (M
H , res
M
H ,∗
M
(δ), f ), ou encore
I
H,E
M H (transfert(res
M
H ,∗
M
(δ)), f ).
Mais, par dualité à partir du dernier diagramme de 2.5, on a l’égalité
transfert(res
M
H ,∗
M
(δ)) = res
M
H ,∗
˜
M
(transfert(δ)) = res
M
H ,∗
˜
M
(γ).
Le membre de droite de (1) est donc égal à I
H,E
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ) et cela démontre
le (i) de l’énoncé.
Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on choisit f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
tel que ϕ = res
H
˜
G
(f ). Dans la situation d’un groupe non tordu, on peut appliquer
1.1 : on a l’égalité
I
H,E
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ) = I
H
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ).
On a vu en 2.7 que le membre de droite était égal à I
˜
G
˜
M
(γ, ϕ). Le (i) de l’énoncé
nous dit que le membre de gauche est égal à I
˜
G,E
˜
M
(γ, ϕ). D’où le (ii) de l’énoncé.
III.3 Passage à un revêtement
III.3.1 Définition des homomorphismes de passage
On fixe pour toute la section un triplet (G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G. Mais a est
quelconque. On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un groupe réductif connexe
G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G. Ces trois données sont
définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q par l’identité sur Z. On
obtient ainsi un homomorphisme encore noté q : G → G. On suppose qu’il s’inscrit
dans une suite exacte
1 → Ξ → G
q
→ G → 1
où Ξ est un sous-groupe fini central. On note Ξ la projection de Ξ dans G .
Notons que Ξ → Ξ est bijective puisque Z est inclus dans G.
Exemples. On peut prendre Z = Z(G)
0 et G = G SC . Ou bien, supposons que
G soit un Levi d’un groupe H. On note G sc son image réciproque dans H SC . On
peut prendre Z = Z(H)
0 et G = G sc .
On suppose que ω est trivial sur q(G (F )). On fixe une mesure de Haar sur
Z(F ). Il s’en déduit une identification Mes(G (F )) Mes(G (F )). Puisque l’homomorphisme q : G (F ) → G(F ) est un isomorphisme local, on a aussi un isomorphisme Mes(G (F )) Mes(G(F )) : deux mesures se correspondent si elles se
correspondent localement. D’où aussi Mes(G (F )) Mes(G(F )).
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Ceci n’est autre que I
H,E
M H (M
H , res
M
H ,∗
M
(δ), f ), ou encore
I
H,E
M H (transfert(res
M
H ,∗
M
(δ)), f ).
Mais, par dualité à partir du dernier diagramme de 2.5, on a l’égalité
transfert(res
M
H ,∗
M
(δ)) = res
M
H ,∗
˜
M
(transfert(δ)) = res
M
H ,∗
˜
M
(γ).
Le membre de droite de (1) est donc égal à I
H,E
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ) et cela démontre
le (i) de l’énoncé.
Pour ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on choisit f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
tel que ϕ = res
H
˜
G
(f ). Dans la situation d’un groupe non tordu, on peut appliquer
1.1 : on a l’égalité
I
H,E
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ) = I
H
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ).
On a vu en 2.7 que le membre de droite était égal à I
˜
G
˜
M
(γ, ϕ). Le (i) de l’énoncé
nous dit que le membre de gauche est égal à I
˜
G,E
˜
M
(γ, ϕ). D’où le (ii) de l’énoncé.
III.3 Passage à un revêtement
III.3.1 Définition des homomorphismes de passage
On fixe pour toute la section un triplet (G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G. Mais a est
quelconque. On considère un sous-tore Z ⊂ Z(G) et un groupe réductif connexe
G . On suppose donné un homomorphisme q : G → G. Ces trois données sont
définies sur F . On pose G = Z × G et on prolonge q par l’identité sur Z. On
obtient ainsi un homomorphisme encore noté q : G → G. On suppose qu’il s’inscrit
dans une suite exacte
1 → Ξ → G
q
→ G → 1
où Ξ est un sous-groupe fini central. On note Ξ la projection de Ξ dans G .
Notons que Ξ → Ξ est bijective puisque Z est inclus dans G.
Exemples. On peut prendre Z = Z(G)
0 et G = G SC . Ou bien, supposons que
G soit un Levi d’un groupe H. On note G sc son image réciproque dans H SC . On
peut prendre Z = Z(H)
0 et G = G sc .
On suppose que ω est trivial sur q(G (F )). On fixe une mesure de Haar sur
Z(F ). Il s’en déduit une identification Mes(G (F )) Mes(G (F )). Puisque l’homomorphisme q : G (F ) → G(F ) est un isomorphisme local, on a aussi un isomorphisme Mes(G (F )) Mes(G(F )) : deux mesures se correspondent si elles se
correspondent localement. D’où aussi Mes(G (F )) Mes(G(F )).