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Chapitre III. Réductions et preuves
Il y a un cocycle a : W F → Z( ˆ
M ) défini par ζmw M (ζ)
−1 = a(w)m pour tout
(m, w) ∈ M
(ce cocycle est un cobord). Comme toujours, on suppose qu’il prend
ses valeurs dans Z( ˆ
G), ce qui est possible quitte à multiplier ζ par un élément de
Z( ˆ
M ). On a alors
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f ))
=
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M (δ, (res
H
˜
G
(f ))
G
(s) ).
A partir de M
, on construit une donnée endoscopique M
H = (M
H , M
H , ζ
H )
de M
H . Le lemme 2.5 et l’hypothèse de relevance de M
assurent que c’est bien
une donnée endoscopique pour le caractère trivial de M
H . De plus, le cocycle a
H
associé à ces données (c’est un cobord) prend automatiquement ses valeurs dans
Z( ˆ
H). Comme dans le paragraphe précédent, la projection naturelle induit un
isomorphisme
ζ
H Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF
ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF .
Identifions ces deux ensembles. Pour un élément s dans cet ensemble commun, la
donnée H
(s) se déduit de G
(s) par le procédé de 2.5. L’une de ces données est
elliptique si et seulement si l’autre l’est. Montrons que
(2) i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = i M
H (H
, H
(s)).
L’argument est le même qu’en 2.8(3). On peut supposer les données elliptiques sinon les deux membres sont nuls. Le premier terme est le nombre d’éléments
du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Le deuxième terme est le nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF
→ Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H
(s))
ΓF .
Mais ces homomorphismes s’identifient et (2) en résulte.
Comme on l’a dit en 2.5, on a l’égalité (res
H
˜
G
(f ))
G
(s) = res
H
(s)
G (s) (f
H
(s) ). Remarquons que l’on peut supposer que δ est à support dans l’ensemble des éléments
semi-simples de ˜
M
(F ) qui correspondent à un élément du support de γ. Alors le
support de δ est formé d’éléments qui sont fortement réguliers dans H
(s). Modulo
quelques formalités, la proposition 2.8(i) nous dit que
S
G
(s)
M (δ, res
H
˜
G
(f )
G
(s) ) = S
H
(s)
M
H (res
M
H ,∗
M
(δ), f
H
(s) ).
Le membre de droite de (1) devient
s∈ζ H Z( ˆ
M H ) Γ F /Z( ˆ
H) Γ F
i M
H (H, H
(s))S
H
(s)
M
H (res
M
H ,∗
M
(δ), f
H
(s) ).
Chapitre III. Réductions et preuves
Il y a un cocycle a : W F → Z( ˆ
M ) défini par ζmw M (ζ)
−1 = a(w)m pour tout
(m, w) ∈ M
(ce cocycle est un cobord). Comme toujours, on suppose qu’il prend
ses valeurs dans Z( ˆ
G), ce qui est possible quitte à multiplier ζ par un élément de
Z( ˆ
M ). On a alors
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f ))
=
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M (δ, (res
H
˜
G
(f ))
G
(s) ).
A partir de M
, on construit une donnée endoscopique M
H = (M
H , M
H , ζ
H )
de M
H . Le lemme 2.5 et l’hypothèse de relevance de M
assurent que c’est bien
une donnée endoscopique pour le caractère trivial de M
H . De plus, le cocycle a
H
associé à ces données (c’est un cobord) prend automatiquement ses valeurs dans
Z( ˆ
H). Comme dans le paragraphe précédent, la projection naturelle induit un
isomorphisme
ζ
H Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF
ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF .
Identifions ces deux ensembles. Pour un élément s dans cet ensemble commun, la
donnée H
(s) se déduit de G
(s) par le procédé de 2.5. L’une de ces données est
elliptique si et seulement si l’autre l’est. Montrons que
(2) i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = i M
H (H
, H
(s)).
L’argument est le même qu’en 2.8(3). On peut supposer les données elliptiques sinon les deux membres sont nuls. Le premier terme est le nombre d’éléments
du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Le deuxième terme est le nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme
Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF
→ Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H
(s))
ΓF .
Mais ces homomorphismes s’identifient et (2) en résulte.
Comme on l’a dit en 2.5, on a l’égalité (res
H
˜
G
(f ))
G
(s) = res
H
(s)
G (s) (f
H
(s) ). Remarquons que l’on peut supposer que δ est à support dans l’ensemble des éléments
semi-simples de ˜
M
(F ) qui correspondent à un élément du support de γ. Alors le
support de δ est formé d’éléments qui sont fortement réguliers dans H
(s). Modulo
quelques formalités, la proposition 2.8(i) nous dit que
S
G
(s)
M (δ, res
H
˜
G
(f )
G
(s) ) = S
H
(s)
M
H (res
M
H ,∗
M
(δ), f
H
(s) ).
Le membre de droite de (1) devient
s∈ζ H Z( ˆ
M H ) Γ F /Z( ˆ
H) Γ F
i M
H (H, H
(s))S
H
(s)
M
H (res
M
H ,∗
M
(δ), f
H
(s) ).