III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
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Pour s = 1, on peut admettre par récurrence la proposition que l’on cherche
à prouver. Modulo quelques formalités, elle affirme que
S
G
(s)
M
(δ, res
H
(s)
G (s) (f
H
(s) )) = S
H
(s)
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(δ), f
H
(s) ).
Comme on l’a dit en 2.5, on a l’égalité ϕ
G
(s) = res
H
(s)
G (s) (f
H
(s) ). L’égalité précédente devient
S
G
(s)
M
(δ, ϕ
G
(s) ) = S
H
(s)
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(δ), f
H
(s) ).
Le membre de droite de (2) devient
I
H
M H (res
M
H
˜
M
(δ), f ) −
s∈Z( ˆ
M
H )
Γ F /Z( ˆ
H)
Γ F ,
s =1
i M H (H, H
(s))S
H
(s)
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(δ), f
H
(s) ),
ce qui n’est autre que S
H
M H (res
M
H
˜
M
(δ), f ). Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Soit ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) dont l’image dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
est nulle. D’après (1), on peut choisir f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )) dont l’image
dans SI(H(F )) ⊗ Mes(H(F )) est nulle et telle que ϕ = res
H
˜
G
(f ). On veut prouver
que S
˜
G
˜
M
(δ, ϕ) = 0. D’après (i), il suffit de prouver que S
H
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(δ), f ) = 0.
Mais on est maintenant dans la situation d’un groupe non tordu et l’assertion a
été prouvée par Arthur, cf. 1.1.
III.2.9 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Proposition. Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )). On suppose que le support de
γ est formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G(F ).
(i) Pour tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
H,E
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ).
(ii) Pour tout ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, ϕ) = I
˜
G
˜
M
(γ, ϕ).
Preuve. On peut fixer une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ζ) de (M, ˜
M ), qui
est elliptique et relevante, et un élément δ ∈ D
st
g´ eom (M
) et supposer que γ est le
transfert de δ. On a alors
I
˜
G,E
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, res
H
˜
G
(f )).