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Chapitre III. Réductions et preuves
(i) Pour tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, res
H
˜
G
(f )) = S
H
M H (res
M
H
˜
M
(δ), f ).
(ii) La distribution ϕ → S
˜
G
˜
M
(δ, ϕ) est stable.
Preuve. Posons ϕ = res
H
˜
G
(f ) et recopions la définition [II] 1.10(8) :
(2) S
˜
G
˜
M
(δ, ϕ) = I
˜
G
˜
M
(δ, ϕ)−
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, ϕ
G
(s) ).
D’après 2.7, le premier terme est égal à I
H
M H (res
M
H
˜
M
(δ), f ). Parce que Z( ˆ
M ad ) est
un tore induit, Z( ˆ
M ad )
ΓF est connexe et l’homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF
est bijectif. Mais ˆ
M ad = ˆ
M
H
ad . D’où un isomorphisme
Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF = Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF .
Pour un élément s de cet ensemble, on a une donnée endoscopique G
(s) de (G, ˜
G)
déduite de M et de s et on a une donnée endoscopique H
(s) de H déduite de M
H
et de s. On voit que la donnée H
(s) est déduite de G
(s) par la correspondance
définie en 2.5. Que l’une des données soit elliptique équivaut à ce que l’autre le
soit. Montrons que
(3) i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) = i M H (H, H
(s)).
On peut supposer les données elliptiques, sinon les deux membres sont nuls.
On a la suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
H
(s) → ˆ
G
(s) → 1.
Les groupes adjoints ˆ
H
(s) AD et ˆ
G
(s) AD sont égaux. L’image de ˆ
M
H dans le
premier est égale à celle de ˆ
M dans le second. On a donc comme plus haut l’égalité
Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H
(s))
ΓF = Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF .
Les homomorphismes
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G
(s))
ΓF
et
Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H)
ΓF
→ Z( ˆ
M
H )
ΓF /Z( ˆ
H
(s))
ΓF
s’identifient. Puisque i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)), resp. i M H (H, H
(s)), est l’inverse du nombre
d’élément du noyau du premier homomorphisme, resp. du second, (3) s’ensuit.