III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
339
entre ces deux espaces. On vérifie que les fonctions poids v ˜
M et v M H , qui sont
définies sur ces deux quotients, se correspondent par la bijection. Il en résulte que
les deux intégrales ci-dessus sont égales.
En appliquant la définition de [II] 1.6, le lemme du paragraphe précédent
permet d’en déduire par récurrence la même égalité des intégrales pondérées invariantes
I
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
H
M H (γ, f ).
A partir de cette égalité, les choix effectués ci-dessus de sous-groupes compacts
maximaux n’ont plus d’importance. Les choix de mesures disparaissent aussi : on
a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
H
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ),
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
⊗ Mes(D(F ))
∗ à support formé d’éléments ˜
G-fortement réguliers et tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
III.2.8 Intégrales orbitales pondérées stables
On utilisera plus loin la propriété suivante :
(1) soit ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) dont l’image dans SI( ˜
G(F )) est nulle ; alors il existe
f ∈ C
∞
c (H(F )) dont l’image dans SI(H(F )) est nulle et telle que ϕ = res
H
˜
G
(f ).
Fixons un sous-espace s défini sur F de z(H) supplémentaire de z(G). Fixons
un voisinage ouvert u de 0 dans s(F ). Si u est assez petit, l’application
˜
G(F ) × u →
H(F )
(γ, X)
→ exp(X)γ
est un isomorphisme de ˜
G(F ) × u sur un voisinage ouvert U de ˜
G(F ) dans H(F )
invariant par conjugaison et par conjugaison stable (c’est-à-dire que, si γ ∈ U
est fortement H-régulier, sa classe de conjugaison stable dans H(F ) est contenue
dans U). On fixe une fonction ψ ∈ C
∞
c (s(F )) à support dans u et telle que ψ
est constante de valeur 1 dans un voisinage de 0. On définit f 1 sur ˜
G(F ) × u
par f 1 (γ, X) = ψ(X)ϕ(γ). On transporte f 1 par l’isomorphisme ci-dessus en une
fonction sur U, que l’on prolonge par 0 hors de U en une fonction f sur H(F ).
Cette fonction répond à la question.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On a défini S
˜
G
˜
M
(δ, f ) pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On sait aussi définir S
H
M H (δ, f ) pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom (M
H (F )) ⊗ Mes(M
H (F ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
Proposition. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On suppose que le support
de δ est formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G(F ).
339
entre ces deux espaces. On vérifie que les fonctions poids v ˜
M et v M H , qui sont
définies sur ces deux quotients, se correspondent par la bijection. Il en résulte que
les deux intégrales ci-dessus sont égales.
En appliquant la définition de [II] 1.6, le lemme du paragraphe précédent
permet d’en déduire par récurrence la même égalité des intégrales pondérées invariantes
I
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
H
M H (γ, f ).
A partir de cette égalité, les choix effectués ci-dessus de sous-groupes compacts
maximaux n’ont plus d’importance. Les choix de mesures disparaissent aussi : on
a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )) = I
H
M H (res
M
H ,∗
˜
M
(γ), f ),
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
⊗ Mes(D(F ))
∗ à support formé d’éléments ˜
G-fortement réguliers et tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
III.2.8 Intégrales orbitales pondérées stables
On utilisera plus loin la propriété suivante :
(1) soit ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) dont l’image dans SI( ˜
G(F )) est nulle ; alors il existe
f ∈ C
∞
c (H(F )) dont l’image dans SI(H(F )) est nulle et telle que ϕ = res
H
˜
G
(f ).
Fixons un sous-espace s défini sur F de z(H) supplémentaire de z(G). Fixons
un voisinage ouvert u de 0 dans s(F ). Si u est assez petit, l’application
˜
G(F ) × u →
H(F )
(γ, X)
→ exp(X)γ
est un isomorphisme de ˜
G(F ) × u sur un voisinage ouvert U de ˜
G(F ) dans H(F )
invariant par conjugaison et par conjugaison stable (c’est-à-dire que, si γ ∈ U
est fortement H-régulier, sa classe de conjugaison stable dans H(F ) est contenue
dans U). On fixe une fonction ψ ∈ C
∞
c (s(F )) à support dans u et telle que ψ
est constante de valeur 1 dans un voisinage de 0. On définit f 1 sur ˜
G(F ) × u
par f 1 (γ, X) = ψ(X)ϕ(γ). On transporte f 1 par l’isomorphisme ci-dessus en une
fonction sur U, que l’on prolonge par 0 hors de U en une fonction f sur H(F ).
Cette fonction répond à la question.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On a défini S
˜
G
˜
M
(δ, f ) pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On sait aussi définir S
H
M H (δ, f ) pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom (M
H (F )) ⊗ Mes(M
H (F ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
Proposition. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . On suppose que le support
de δ est formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G(F ).