338
Chapitre III. Réductions et preuves
par q. On a aussi Π
H
λ (f μ (κ ◦ q)) = (Π
H
λ+μ ⊗ (κ ◦ q))(f ) et Π
H
λ+μ ⊗ (κ ◦ q) n’est autre
que Ind
H
P H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ ). On obtient
J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ ◦ q)) = J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ , f).
D’où
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
iA ∗
M H ,F
/iA ∗
D,F
iA ∗
D,F
J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ , f)κ(d)
−1 e
−−μ,HD (d) dμ e
−−λ,X dλ.
Puisque X ∈ ˜
A ˜
M , sa projection dans A D est H D (d), donc μ, H D (d) = μ, X
pour tout μ ∈ iA
∗
D,F . La double intégrale ci-dessus se recompose en une intégrale
unique
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ)
= mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
κ(d)
−1
iA ∗
M H ,F
J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ , f)e
−−λ,X dλ.
cette dernière intégrale n’est autre que J
H
M H (π
H
⊗ (κ ◦ q), X, f), ce qui prouve (1).
Un raisonnement facile, similaire à celui fait en [81] 6.4, permet d’étendre la
relation (1) à une fonction f ∈ C
∞
ac (H(F )). Posons ϕ ˜
M = res
M
H
˜
M
(φ M H (f )). En
appliquant (1) au cas G = M et à la fonction φ M H (f )), on obtient
(2)
I
˜
M (˜ π, X, ϕ ˜
M )
= mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
κ(d)
−1 I
M
H
(π
H
⊗ (κ ◦ q), X, φ M H (f )).
Par définition de φ M H , les membres de droite de (1) et (2) sont égaux. Donc aussi
les membres de gauche. Par définition de φ ˜
M , cela signifie que ϕ ˜
M = φ ˜
M (ϕ),
autrement dit res
M
H
˜
M
(φ M H (f )) = φ ˜
M (res
H
˜
G
(f )).
III.2.7 Intégrales orbitales pondérées équivariantes
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial
K
H de H(F ) en bonne position relativement à M
H . Posons K = G(F ) ∩ K
H .
C’est un sous-groupe compact maximal de G(F ) en bonne position relativement
à M . Soient f ∈ C
∞
c (H(F )) et γ ∈ ˜
M (F ) ∩ ˜
G reg (F ). On définit comme en [II] 1.2
les intégrales orbitales pondérées J
H
M H (γ, f ) et J
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )). On suppose que
les mesures sur M γ (F )\G(F ) et M
H
γ (F )\H(F ) se correspondent par la bijection
2.3(3). On suppose aussi que les mesures sur A
G
M et A
H
M H nécessaires pour définir des intégrales orbitales pondérées se correspondent via l’isomorphisme naturel
Chapitre III. Réductions et preuves
par q. On a aussi Π
H
λ (f μ (κ ◦ q)) = (Π
H
λ+μ ⊗ (κ ◦ q))(f ) et Π
H
λ+μ ⊗ (κ ◦ q) n’est autre
que Ind
H
P H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ ). On obtient
J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ ◦ q)) = J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ , f).
D’où
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
iA ∗
M H ,F
/iA ∗
D,F
iA ∗
D,F
J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ+μ , f)κ(d)
−1 e
−−μ,HD (d) dμ e
−−λ,X dλ.
Puisque X ∈ ˜
A ˜
M , sa projection dans A D est H D (d), donc μ, H D (d) = μ, X
pour tout μ ∈ iA
∗
D,F . La double intégrale ci-dessus se recompose en une intégrale
unique
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ)
= mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
κ(d)
−1
iA ∗
M H ,F
J
H
M H ((π
H
⊗ (κ ◦ q)) λ , f)e
−−λ,X dλ.
cette dernière intégrale n’est autre que J
H
M H (π
H
⊗ (κ ◦ q), X, f), ce qui prouve (1).
Un raisonnement facile, similaire à celui fait en [81] 6.4, permet d’étendre la
relation (1) à une fonction f ∈ C
∞
ac (H(F )). Posons ϕ ˜
M = res
M
H
˜
M
(φ M H (f )). En
appliquant (1) au cas G = M et à la fonction φ M H (f )), on obtient
(2)
I
˜
M (˜ π, X, ϕ ˜
M )
= mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
κ(d)
−1 I
M
H
(π
H
⊗ (κ ◦ q), X, φ M H (f )).
Par définition de φ M H , les membres de droite de (1) et (2) sont égaux. Donc aussi
les membres de gauche. Par définition de φ ˜
M , cela signifie que ϕ ˜
M = φ ˜
M (ϕ),
autrement dit res
M
H
˜
M
(φ M H (f )) = φ ˜
M (res
H
˜
G
(f )).
III.2.7 Intégrales orbitales pondérées équivariantes
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial
K
H de H(F ) en bonne position relativement à M
H . Posons K = G(F ) ∩ K
H .
C’est un sous-groupe compact maximal de G(F ) en bonne position relativement
à M . Soient f ∈ C
∞
c (H(F )) et γ ∈ ˜
M (F ) ∩ ˜
G reg (F ). On définit comme en [II] 1.2
les intégrales orbitales pondérées J
H
M H (γ, f ) et J
˜
G
˜
M
(γ, res
H
˜
G
(f )). On suppose que
les mesures sur M γ (F )\G(F ) et M
H
γ (F )\H(F ) se correspondent par la bijection
2.3(3). On suppose aussi que les mesures sur A
G
M et A
H
M H nécessaires pour définir des intégrales orbitales pondérées se correspondent via l’isomorphisme naturel