III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
337
Par définition,
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) =
iA ∗
M,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , ϕ)e
− ˜
λ,X dλ.
Expliquons cette formule. On a noté A
∗
M,F = iA
∗
M /iA
∨
M,F , où iA
∨
M,F est le sousgroupe des λ ∈ iA
∗
M tels que λ, H M (x) ∈ 2iπZ pour tout x ∈ M (F ). On a
relevé tout élément λ ∈ iA
∗
M,F en un élément ˜
λ ∈ iA
∗
M H . L’expression ci-dessus
ne dépend pas du relèvement choisi. Enfin, la mesure sur iA
∗
˜
M,F
est de masse
totale 1. On a une suite exacte
0 → iA
∗
D → iA
∗
M H → iA
∗
M → 0
dont on déduit une suite exacte
0 → iA
∗
D,F → iA
∗
M H ,F → iA
∗
M,F → 0,
avec des notations imitées des précédentes. La formule ci-dessus se récrit
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) =
iA ∗
M H ,F
/iA ∗
D,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ)e
−−λ,X dλ.
L’expression J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) est construite à l’aide d’opérateurs d’entrelacement
et de l’opérateur ˜
Π λ (ϕ), où ˜
Π λ = Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ ) pour un élément fixé ˜
P ∈ P( ˜
M ).
Les opérateurs pour les représentations induites de ˜
π λ étant les restrictions des
mêmes opérateurs pour les représentations induites de π
H
λ , la formule 2.4(1) se
généralise en
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) =
D(F ) ∨
J
H
M H (π
H
λ , f(κ ◦ q))κ(d)
−1 dκ.
Le groupe D(F )
∨ s’identifie au produit D(F )
∨
c × iA
∗
D,F . Si on munit le groupe
discret D(F )
∨
c de la mesure de comptage et le groupe iA
∗
D,F de la mesure de masse
totale 1, l’identification ci-dessus envoie la mesure sur D(F )
∨ sur mes(D(F ) c )
−1
fois celle sur D(F )
∨
c × iA
∗
D,F . D’où
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
iA ∗
D,F
J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ◦ q))κ(d)
−1 e
−−μ,HD (d) dμ,
où on a noté f μ la fonction x → f (x)e
μ,HH (x) sur H(F ). La somme en κ est
finie pour la même raison que ci-dessus. Le terme J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ ◦ q)) est construit
à l’aide d’opérateurs d’entrelacement et de l’opérateur Π
H
λ (f μ (κ ◦ q)), où Π
H
λ =
Ind
H
P H (π λ ) pour un élément fixé P
H
∈ P(M
H ). Les opérateurs d’entrelacement
vivent dans G(F ) et sont insensibles à la torsion par un caractère se factorisant
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Par définition,
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) =
iA ∗
M,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π ˜
λ , ϕ)e
− ˜
λ,X dλ.
Expliquons cette formule. On a noté A
∗
M,F = iA
∗
M /iA
∨
M,F , où iA
∨
M,F est le sousgroupe des λ ∈ iA
∗
M tels que λ, H M (x) ∈ 2iπZ pour tout x ∈ M (F ). On a
relevé tout élément λ ∈ iA
∗
M,F en un élément ˜
λ ∈ iA
∗
M H . L’expression ci-dessus
ne dépend pas du relèvement choisi. Enfin, la mesure sur iA
∗
˜
M,F
est de masse
totale 1. On a une suite exacte
0 → iA
∗
D → iA
∗
M H → iA
∗
M → 0
dont on déduit une suite exacte
0 → iA
∗
D,F → iA
∗
M H ,F → iA
∗
M,F → 0,
avec des notations imitées des précédentes. La formule ci-dessus se récrit
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) =
iA ∗
M H ,F
/iA ∗
D,F
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ)e
−−λ,X dλ.
L’expression J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) est construite à l’aide d’opérateurs d’entrelacement
et de l’opérateur ˜
Π λ (ϕ), où ˜
Π λ = Ind
˜
G
˜
P
(˜ π λ ) pour un élément fixé ˜
P ∈ P( ˜
M ).
Les opérateurs pour les représentations induites de ˜
π λ étant les restrictions des
mêmes opérateurs pour les représentations induites de π
H
λ , la formule 2.4(1) se
généralise en
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) =
D(F ) ∨
J
H
M H (π
H
λ , f(κ ◦ q))κ(d)
−1 dκ.
Le groupe D(F )
∨ s’identifie au produit D(F )
∨
c × iA
∗
D,F . Si on munit le groupe
discret D(F )
∨
c de la mesure de comptage et le groupe iA
∗
D,F de la mesure de masse
totale 1, l’identification ci-dessus envoie la mesure sur D(F )
∨ sur mes(D(F ) c )
−1
fois celle sur D(F )
∨
c × iA
∗
D,F . D’où
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
iA ∗
D,F
J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ◦ q))κ(d)
−1 e
−−μ,HD (d) dμ,
où on a noté f μ la fonction x → f (x)e
μ,HH (x) sur H(F ). La somme en κ est
finie pour la même raison que ci-dessus. Le terme J
H
M H (π
H
λ , f μ (κ ◦ q)) est construit
à l’aide d’opérateurs d’entrelacement et de l’opérateur Π
H
λ (f μ (κ ◦ q)), où Π
H
λ =
Ind
H
P H (π λ ) pour un élément fixé P
H
∈ P(M
H ). Les opérateurs d’entrelacement
vivent dans G(F ) et sont insensibles à la torsion par un caractère se factorisant