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Chapitre III. Réductions et preuves
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial K
H de H(F ) en bonne position relativement à M
H . Posons K = G(F ) ∩ K
H .
C’est un sous-groupe compact maximal de G(F ) en bonne position relativement
à M . On a défini en [81] 6.4 une application linéaire
φ ˜
M : C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Remarquons que la mesure fixée sur D(F ) détermine encore un isomorphisme
Mes(M
H (F )) Mes(M (F )). On a un diagramme
C
∞
ac (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
res
H
˜
G
→
C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
φ M H ↓
↓ φ ˜
M
I ac (M
H (F )) ⊗ Mes(M
H (F ))
res
M H
˜
M
→
I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) .
Lemme. Le diagramme ci-dessus est commutatif.
Preuve. Pour simplifier, on fixe sur les groupes G(F ) et M (F ) des mesures de Haar
compatibles. Il s’en déduit des mesures de Haar sur H(F ) et M
H (F ). Cela nous
débarrasse des espaces de mesures. Soit π
H une représentation tempérée irréductible de M
H (F ). Notons ˜
π sa restriction à ˜
M (F ) et supposons que le caractère de
cette restriction n’est pas nul. Soit X ∈ ˜
A ˜
M,F ⊂ A M H . Soit f ∈ C
∞
c (H(F )), posons ϕ = res
H
˜
G
(f ). On a défini en [81] 6.4 les termes J
H
M H (π
H , X, f) et J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ).
On va les comparer. Notons D(F ) c le plus grand sous-groupe compact de D(F ) et
D(F )
∨
c son groupe des caractères. On prolonge chaque élément de D(F )
∨
c en un
caractère unitaire de D(F ). Pour chaque κ ∈ D(F )
∨
c , on dispose de la représentation π
H
⊗ (κ ◦ q) de H(F ). On note mes(D(F ) c ) la mesure de D(F ) c , vu comme
sous-groupe ouvert de D(F ). Montrons que
(1)
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
J
H
M H (π
H
⊗ (κ ◦ q), X, f)κ(d)
−1 .
Montrons d’abord que la somme est finie. Soit P
H
∈ P(M
H ). Pour λ ∈ iA
∗
M H , posons Π
H
λ = Ind
H
P H (π
H
λ ). La fonction f n’intervient dans la définition de J
H
M H (π
H
⊗
(κ ◦ q), X, f) que via des opérateurs (Π
H
λ ⊗ (κ ◦ q))(f ). Notons U le plus grand
sous-groupe compact de Z(H; F ) et χ la restriction à U du caractère central de
π
H . Les opérateurs ci-dessus ne dépendent que de la fonction f ∗ sur H(F ) définie
par
f ∗ (h) =
U
f (zh)χ(z)κ ◦ q(z) dz.
Fixons un sous-groupe U
⊂ U ouvert et d’indice fini tel que f et χ soient invariants
par U
. Alors f ∗ est nulle si κ n’est pas trivial sur q(U
). Puisque q(Z(H; F )) est
d’indice fini dans D(F ), q(U
) est d’indice fini dans D(F ) c . Il n’y a qu’un nombre
fini de κ triviaux sur q(U
), d’où l’assertion de finitude.
Chapitre III. Réductions et preuves
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe un sous-groupe compact maximal spécial K
H de H(F ) en bonne position relativement à M
H . Posons K = G(F ) ∩ K
H .
C’est un sous-groupe compact maximal de G(F ) en bonne position relativement
à M . On a défini en [81] 6.4 une application linéaire
φ ˜
M : C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) → I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )).
Remarquons que la mesure fixée sur D(F ) détermine encore un isomorphisme
Mes(M
H (F )) Mes(M (F )). On a un diagramme
C
∞
ac (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
res
H
˜
G
→
C
∞
ac ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
φ M H ↓
↓ φ ˜
M
I ac (M
H (F )) ⊗ Mes(M
H (F ))
res
M H
˜
M
→
I ac ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F )) .
Lemme. Le diagramme ci-dessus est commutatif.
Preuve. Pour simplifier, on fixe sur les groupes G(F ) et M (F ) des mesures de Haar
compatibles. Il s’en déduit des mesures de Haar sur H(F ) et M
H (F ). Cela nous
débarrasse des espaces de mesures. Soit π
H une représentation tempérée irréductible de M
H (F ). Notons ˜
π sa restriction à ˜
M (F ) et supposons que le caractère de
cette restriction n’est pas nul. Soit X ∈ ˜
A ˜
M,F ⊂ A M H . Soit f ∈ C
∞
c (H(F )), posons ϕ = res
H
˜
G
(f ). On a défini en [81] 6.4 les termes J
H
M H (π
H , X, f) et J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ).
On va les comparer. Notons D(F ) c le plus grand sous-groupe compact de D(F ) et
D(F )
∨
c son groupe des caractères. On prolonge chaque élément de D(F )
∨
c en un
caractère unitaire de D(F ). Pour chaque κ ∈ D(F )
∨
c , on dispose de la représentation π
H
⊗ (κ ◦ q) de H(F ). On note mes(D(F ) c ) la mesure de D(F ) c , vu comme
sous-groupe ouvert de D(F ). Montrons que
(1)
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, ϕ) = mes(D(F ) c )
−1
κ∈D(F ) ∨
c
J
H
M H (π
H
⊗ (κ ◦ q), X, f)κ(d)
−1 .
Montrons d’abord que la somme est finie. Soit P
H
∈ P(M
H ). Pour λ ∈ iA
∗
M H , posons Π
H
λ = Ind
H
P H (π
H
λ ). La fonction f n’intervient dans la définition de J
H
M H (π
H
⊗
(κ ◦ q), X, f) que via des opérateurs (Π
H
λ ⊗ (κ ◦ q))(f ). Notons U le plus grand
sous-groupe compact de Z(H; F ) et χ la restriction à U du caractère central de
π
H . Les opérateurs ci-dessus ne dépendent que de la fonction f ∗ sur H(F ) définie
par
f ∗ (h) =
U
f (zh)χ(z)κ ◦ q(z) dz.
Fixons un sous-groupe U
⊂ U ouvert et d’indice fini tel que f et χ soient invariants
par U
. Alors f ∗ est nulle si κ n’est pas trivial sur q(U
). Puisque q(Z(H; F )) est
d’indice fini dans D(F ), q(U
) est d’indice fini dans D(F ) c . Il n’y a qu’un nombre
fini de κ triviaux sur q(U
), d’où l’assertion de finitude.