III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
335
Comme en 2.4, il se quotiente en un homomorphisme
res
H
1
˜
G
1
: SI λ1 (H
1 (F )) ⊗ Mes(H
(F )) → SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )).
Du fait que Δ 1 est la restriction de Δ
H
1 résulte que le diagramme suivant est
commutatif
C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
res
H
˜
G
→
C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
↓ transfert
↓ transfert
SI λ1 (H
1 (F )) ⊗ Mes(H
(F ))
res
H
1
˜
G
1
→ SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F ))
Si on fait varier les données auxiliaires pour H
, on voit que les applications res
H
1
˜
G
1
se recollent en un homomorphisme
res
H
G : SI(H
) ⊗ Mes(H
(F )) → SI(G
) ⊗ Mes(G
(F )).
Le diagramme ci-dessus devient un diagramme commutatif
C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
res
H
˜
G
→ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
↓ transfert
↓ transfert
SI(H
) ⊗ Mes(H
(F ))
res
H
G
→
SI(G
) ⊗ Mes(G
(F )) .
III.2.6 L’application φ ˜
M
On suppose de nouveau, et jusqu’à la fin du chapitre, que F est non-archimédien.
Remarque. On reprend cette hypothèse parce que nous allons travailler avec des
objets que nous n’avons défini que dans le cas non-archimédien. Mais s’il anticipe
les définitions nécessaires dans le cas archimédien, le lecteur verra que la suite de
cette section vaut aussi dans ce cas.
On a la suite exacte
0 → A G → A H → A D → 0.
On a introduit en [II] 1.6 l’ensemble ˜
A ˜
G,F et l’application ˜
H ˜
G : ˜
G(F ) → ˜
A ˜
G,F . On
peut identifier ˜
A ˜
G,F à l’image de ˜
G(F ) dans A H par l’application H H (avec une
double signification de la lettre H) et ˜
H ˜
G,F à la restriction de cette application
H H à ˜
G(F ). On a introduit en [II] 1.6 les espaces C
∞
ac ( ˜
G(F )) et I ac ( ˜
G(F )). On
voit que l’application linéaire res
H
˜
G
: C
∞
c (H(F )) → C
∞
c ( ˜
G(F )) se prolonge en une
application linéaire res
H
˜
G
: C
∞
ac (H(F )) → C
∞
ac ( ˜
G(F )). Celle-ci se quotiente en une
application linéaire res
H
˜
G
: I ac (H(F )) → I ac ( ˜
G(F )).