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Chapitre III. Réductions et preuves
Lemme. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la donnée G
est relevante ;
(ii) d appartient à q
(H
(F )) ;
(iii) d appartient à q
(H
(F )) et a
H = 1.
Preuve. La donnée G
est relevante si et seulement si ˜
G
(F ) n’est pas vide ([I]
lemme 1.9). Puisque ˜
G
(F ) est l’ensemble des h ∈ H
(F ) tels que q
(h) = d, on
obtient l’équivalence entre (i) et (ii). Evidemment, (iii) entraîne (ii). Supposons G
relevante. Soient γ ∈ ˜
G ss (F ) et δ ∈ ˜
G
ss (F ) deux éléments qui se correspondent,
avec γ ∈ ˜
G reg (F ). Comme on vient de le dire, il se correspondent aussi pour les
données ambiantes H et H
, et on a encore γ ∈ ˜
H reg (F ). L’élément a
H provient
d’un élément a
D
∈ H
1 (W F ; ˆ
D). Ces éléments déterminent des caractères ω
H de
H(F ) et ω
D de D(F ). On a ω
H = ω
D
◦ q. D’après [48] lemme 4.4.C, ω
H est
trivial sur H γ (F ). D’après 2.3(2), ω
H est trivial sur γ et sur Z(H; F ). Donc ω
D
est trivial sur q(γ) = d et sur q(Z(H; F )). Il l’est aussi sur le groupe engendré par
d et q(Z(H; F )), c’est-à-dire D(F ) tout entier. Donc ω
D = 1. Puisque D est un
tore, cela entraîne que a
D = 1, donc aussi a
H = 1.
Supposons G
relevante. Alors les objets H
, D, d, q
et les plongements
que l’on a définis de G
et ˜
G
dans H
vérifient la proposition 2.3 relativement
à (G
, ˜
G
). En effet, puisque D(F ) est engendré par q(Z(H; F )) et d et puisque
Z(H) ⊂ Z(H
), D(F ) est a fortiori engendré par q
(Z(H
; F )) et d. Fixons des
données auxiliaires H
1 , ˜
H
1 = H
1 , C 1 , ˆ
ξ
H
1 , Δ
H
1 pour H
. On note G
1 et ˜
G
1 les
images réciproques de G
et ˜
G
dans H
1 . On a une suite exacte
1 → G
1 → H
1 → D → 1
d’où dualement
1 → ˆ
D →
L H
1 →
L G
1 → 1.
Le plongement ˆ
ξ
H
1 : H
→
L H
1 se quotiente en un plongement
ˆ
ξ 1 : G
= H
/ ˆ
D →
L G
1 =
L H
1 / ˆ
D.
Les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 sont des données auxiliaires pour G
. Notons Δ 1
la restriction de Δ
H
1 aux couples (δ, γ) d’éléments qui se correspondent tels que
δ ∈ ˜
G
1 (F ), γ ∈ ˜
G(F ). Il est facile quoique fastidieux de vérifier que Δ 1 est un
facteur de transfert complétant nos données auxiliaires. On a un homomorphisme
de restriction
res
H
1
˜
G
1
: C
∞
c,λ1 (H
1 (F )) → C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )),
ou encore
res
H
1
˜
G
1
: C
∞
c,λ1 (H
1 (F )) ⊗ Mes(H
(F )) → C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )).
Chapitre III. Réductions et preuves
Lemme. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la donnée G
est relevante ;
(ii) d appartient à q
(H
(F )) ;
(iii) d appartient à q
(H
(F )) et a
H = 1.
Preuve. La donnée G
est relevante si et seulement si ˜
G
(F ) n’est pas vide ([I]
lemme 1.9). Puisque ˜
G
(F ) est l’ensemble des h ∈ H
(F ) tels que q
(h) = d, on
obtient l’équivalence entre (i) et (ii). Evidemment, (iii) entraîne (ii). Supposons G
relevante. Soient γ ∈ ˜
G ss (F ) et δ ∈ ˜
G
ss (F ) deux éléments qui se correspondent,
avec γ ∈ ˜
G reg (F ). Comme on vient de le dire, il se correspondent aussi pour les
données ambiantes H et H
, et on a encore γ ∈ ˜
H reg (F ). L’élément a
H provient
d’un élément a
D
∈ H
1 (W F ; ˆ
D). Ces éléments déterminent des caractères ω
H de
H(F ) et ω
D de D(F ). On a ω
H = ω
D
◦ q. D’après [48] lemme 4.4.C, ω
H est
trivial sur H γ (F ). D’après 2.3(2), ω
H est trivial sur γ et sur Z(H; F ). Donc ω
D
est trivial sur q(γ) = d et sur q(Z(H; F )). Il l’est aussi sur le groupe engendré par
d et q(Z(H; F )), c’est-à-dire D(F ) tout entier. Donc ω
D = 1. Puisque D est un
tore, cela entraîne que a
D = 1, donc aussi a
H = 1.
Supposons G
relevante. Alors les objets H
, D, d, q
et les plongements
que l’on a définis de G
et ˜
G
dans H
vérifient la proposition 2.3 relativement
à (G
, ˜
G
). En effet, puisque D(F ) est engendré par q(Z(H; F )) et d et puisque
Z(H) ⊂ Z(H
), D(F ) est a fortiori engendré par q
(Z(H
; F )) et d. Fixons des
données auxiliaires H
1 , ˜
H
1 = H
1 , C 1 , ˆ
ξ
H
1 , Δ
H
1 pour H
. On note G
1 et ˜
G
1 les
images réciproques de G
et ˜
G
dans H
1 . On a une suite exacte
1 → G
1 → H
1 → D → 1
d’où dualement
1 → ˆ
D →
L H
1 →
L G
1 → 1.
Le plongement ˆ
ξ
H
1 : H
→
L H
1 se quotiente en un plongement
ˆ
ξ 1 : G
= H
/ ˆ
D →
L G
1 =
L H
1 / ˆ
D.
Les données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 sont des données auxiliaires pour G
. Notons Δ 1
la restriction de Δ
H
1 aux couples (δ, γ) d’éléments qui se correspondent tels que
δ ∈ ˜
G
1 (F ), γ ∈ ˜
G(F ). Il est facile quoique fastidieux de vérifier que Δ 1 est un
facteur de transfert complétant nos données auxiliaires. On a un homomorphisme
de restriction
res
H
1
˜
G
1
: C
∞
c,λ1 (H
1 (F )) → C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )),
ou encore
res
H
1
˜
G
1
: C
∞
c,λ1 (H
1 (F )) ⊗ Mes(H
(F )) → C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )).