III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
333
(h(w), w) ∈ H
. Alors l’action w → ad hw munit ˆ
H s H d’une action de W F , qui se
quotiente en une action de Γ F qui préserve une paire de Borel épinglée. On peut
introduire un groupe reductif H
défini et quasi-déployé sur F de sorte que ˆ
H s H ,
muni de l’action précédente, s’identifie au groupe dual ˆ
H
de H
. On a une suite
exacte
1 → G
→ H
q
→ D → 1.
Pour (g, w) ∈ G
, on a une égalité sgw(s)
−1 = a(w)g, où a : W F → Z( ˆ
G) est un
cocycle qui est un cobord. Il en résulte qu’il existe un cocycle a
H :: W F → Z( ˆ
H)
de sorte que s H hw(s H )
−1 = a
H (w)h pour tout (h, w) ∈ H
. En notant a
H la classe
de a
H , on voit que H
= (H
, H
, s H ) est une donnée endoscopique pour le triplet
(H, ˜
H = H, a
H ) (nous noterons simplement ce triplet comme un couple (H, a
H )).
Evidemment, a
H appartient au noyau Ker de l’homomorphisme
H
1 (W F ; Z( ˆ
H)) → H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
ou encore à l’image de l’homomorphisme
H
1 (W F ; ˆ
D) → H
1 (W F ; Z( ˆ
H)).
Inversement, soit a
H un élément de Ker et soit H
= (H
, H
, s H ) une donnée
endoscopique pour le couple (H, a
H ). On a une injection ˆ
D ⊂ Z( ˆ
H) ⊂ Z( ˆ
H
), d’où
une surjection H
→ D dont le noyau est connexe. On note G
ce noyau. On note
G
la projection de H
dans
L G et s la projection de s
H dans ˆ
G. Alors (G
, G
, s)
est une donnée endoscopique de (G, ˜
G).
Il est assez clair que les correspondances ci-dessus se quotientent en des bijections entre l’ensemble des classes d’équivalence de données endoscopiques pour
(G, ˜
G) et la réunion sur les éléments a
H
∈ Ker des ensembles de classes d’équivalence de données endoscopiques pour (H, a
H ). Cette bijection préserve l’ellipticité :
G
est elliptique si et seulement si H
l’est.
Soient G
et H
comme ci-dessus. On a construit l’espace endoscopique ˜
G
=
G
× Z(G) Z( ˜
G). Or Z( ˜
G) ⊂ ˜
G s’envoie dans H par ˜ ι, plus précisément dans
Z(H). On a une injection Z(H) → Z(H
). Puisque G
s’envoie lui-aussi dans
H
, on en déduit une application naturelle ˜ ι
: ˜
G
→ H
. Elle est définie sur F .
Par construction, son image est contenue dans l’image réciproque de d ∈ D(F )
dans H
. Puisque cette image réciproque est une unique classe à gauche modulo
G
, l’image de ˜ ι
est exactement cette image réciproque. Soient γ ∈ ˜
G ss (F ) et
δ ∈ ˜
G
ss (F ). On a défini en [I] 1.10 la propriété : γ et δ se correspondent. Cette
notion est relative aux données ambiantes ˜
G et ˜
G
. C’est-à-dire que, si on considère
maintenant γ comme un élément de H ss (F ) et δ comme un élément de H
ss (F ), on
a une autre notion de correspondance relative aux données ambiantes H et H
.
On vérifie qu’en fait, ces deux notions coïncident. Cela résulte du fait qu’il y a une
bijection évidente entre paires de Borel pour G, resp. G
, et paires de Borel pour
H, resp. H
.
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(h(w), w) ∈ H
. Alors l’action w → ad hw munit ˆ
H s H d’une action de W F , qui se
quotiente en une action de Γ F qui préserve une paire de Borel épinglée. On peut
introduire un groupe reductif H
défini et quasi-déployé sur F de sorte que ˆ
H s H ,
muni de l’action précédente, s’identifie au groupe dual ˆ
H
de H
. On a une suite
exacte
1 → G
→ H
q
→ D → 1.
Pour (g, w) ∈ G
, on a une égalité sgw(s)
−1 = a(w)g, où a : W F → Z( ˆ
G) est un
cocycle qui est un cobord. Il en résulte qu’il existe un cocycle a
H :: W F → Z( ˆ
H)
de sorte que s H hw(s H )
−1 = a
H (w)h pour tout (h, w) ∈ H
. En notant a
H la classe
de a
H , on voit que H
= (H
, H
, s H ) est une donnée endoscopique pour le triplet
(H, ˜
H = H, a
H ) (nous noterons simplement ce triplet comme un couple (H, a
H )).
Evidemment, a
H appartient au noyau Ker de l’homomorphisme
H
1 (W F ; Z( ˆ
H)) → H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
ou encore à l’image de l’homomorphisme
H
1 (W F ; ˆ
D) → H
1 (W F ; Z( ˆ
H)).
Inversement, soit a
H un élément de Ker et soit H
= (H
, H
, s H ) une donnée
endoscopique pour le couple (H, a
H ). On a une injection ˆ
D ⊂ Z( ˆ
H) ⊂ Z( ˆ
H
), d’où
une surjection H
→ D dont le noyau est connexe. On note G
ce noyau. On note
G
la projection de H
dans
L G et s la projection de s
H dans ˆ
G. Alors (G
, G
, s)
est une donnée endoscopique de (G, ˜
G).
Il est assez clair que les correspondances ci-dessus se quotientent en des bijections entre l’ensemble des classes d’équivalence de données endoscopiques pour
(G, ˜
G) et la réunion sur les éléments a
H
∈ Ker des ensembles de classes d’équivalence de données endoscopiques pour (H, a
H ). Cette bijection préserve l’ellipticité :
G
est elliptique si et seulement si H
l’est.
Soient G
et H
comme ci-dessus. On a construit l’espace endoscopique ˜
G
=
G
× Z(G) Z( ˜
G). Or Z( ˜
G) ⊂ ˜
G s’envoie dans H par ˜ ι, plus précisément dans
Z(H). On a une injection Z(H) → Z(H
). Puisque G
s’envoie lui-aussi dans
H
, on en déduit une application naturelle ˜ ι
: ˜
G
→ H
. Elle est définie sur F .
Par construction, son image est contenue dans l’image réciproque de d ∈ D(F )
dans H
. Puisque cette image réciproque est une unique classe à gauche modulo
G
, l’image de ˜ ι
est exactement cette image réciproque. Soient γ ∈ ˜
G ss (F ) et
δ ∈ ˜
G
ss (F ). On a défini en [I] 1.10 la propriété : γ et δ se correspondent. Cette
notion est relative aux données ambiantes ˜
G et ˜
G
. C’est-à-dire que, si on considère
maintenant γ comme un élément de H ss (F ) et δ comme un élément de H
ss (F ), on
a une autre notion de correspondance relative aux données ambiantes H et H
.
On vérifie qu’en fait, ces deux notions coïncident. Cela résulte du fait qu’il y a une
bijection évidente entre paires de Borel pour G, resp. G
, et paires de Borel pour
H, resp. H
.