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Chapitre III. Réductions et preuves
changement supposer q(γ) = d, autrement dit γ ∈ ˜
G(F ). On pose M = M
H
∩G et
on fixe δ ∈ M
H (F ) ∩ ˜
G(F ). La théorie de Mackey nous dit que la restriction de Σ
à M (F ) se décompose en une somme σ 1 ⊕ · · · ⊕ σ l de représentations irréductibles
deux-à-deux non équivalentes. Pour n = 1, . . . , l, on note n la projection sur la
composante σ n . Pour ϕ ∈ π
H et n ∈ {1, . . . , l}, définissons une fonction ϕ n sur
G(F ) par ϕ n (g) = n ◦ ϕ(g). On vérifie que l’application
(7)
π
H
→ ⊕ n=0,...,l−1 Ind
G
M (σ n )
ϕ →
(ϕ n ) n=1,...,l
est un isomorphisme équivariant pour les actions de G(F ). L’opérateur B permute
les composantes σ n . Par construction, l’opérateur ˜
π
H (γ) permute conformément
les composantes de la décomposition (7). Il en est de même de ˜
π
H (xγ) pour tout
x ∈ G(F ), autrement dit de ˜
π
H (γ
) pour tout γ
∈ ˜
G(F ). On veut montrer que
l’image du caractère de ˜
π
H par l’homomorphisme (1) appartient à D ell ( ˜
G(F )).
Cette image ne dépend que la restriction de ce caractère à ˜
G(F ). Les composantes
de (7) permutées non trivialement ne contribuent pas à cette restriction. On peut
donc se limiter aux n tels que σ n est conservé par B. Pour un tel n, la restriction
de ˜
π
H à ˜
G(F ) conserve la composante Ind
G
M (σ n ) du membre de droite de (7). Il
suffit de prouver que cette action de ˜
G(F ) dans cette composante est elliptique
ou de trace nulle. Fixons un tel n, notons simplement σ = σ n , π = Ind
G
M (σ) et
A la restriction de B à σ. La représentation σ est de la série discrète et on a
(A, γ) ∈ N
˜
G (σ). On voit que l’action de ˜
G(F ) dans π est déduite de (A, γ) par le
même procédé décrit au début de la preuve. Il suffit de prouver que (σ, γ) vérifie les
conditions requises, à savoir que W 0 (σ) = {1} et que l’action sur A M /A G déduite
de γ est sans point fixe non nul. Ces deux propriétés résultent comme dans la
preuve de (5) des propriétés analogues de (Σ, γ). Cela achève la preuve.
III.2.5 Endoscopie
Du côté dual, on a une suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
H
ˆ ι
→ ˆ
G → 1
qui est équivariante pour les actions galoisiennes. Cette suite s’étend en une suite
exacte
1 → ˆ
D →
L H
L ι
→
L G → 1.
Soit G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G) (on oublie a qui est
trivial). Fixons s
H
∈ ˆ
H qui s’envoie sur s. Cet élément est uniquement déterminé
modulo ˆ
D, a fortiori modulo Z( ˆ
H). On a une suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
H s H → ˆ
G s → 1.
Notons H
l’image inverse de G
dans
L H. Pour tout w ∈ W F , fixons g w =
(g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse par w G sur ˆ
G
= ˆ
G s . Relevons g w en h w =
Chapitre III. Réductions et preuves
changement supposer q(γ) = d, autrement dit γ ∈ ˜
G(F ). On pose M = M
H
∩G et
on fixe δ ∈ M
H (F ) ∩ ˜
G(F ). La théorie de Mackey nous dit que la restriction de Σ
à M (F ) se décompose en une somme σ 1 ⊕ · · · ⊕ σ l de représentations irréductibles
deux-à-deux non équivalentes. Pour n = 1, . . . , l, on note n la projection sur la
composante σ n . Pour ϕ ∈ π
H et n ∈ {1, . . . , l}, définissons une fonction ϕ n sur
G(F ) par ϕ n (g) = n ◦ ϕ(g). On vérifie que l’application
(7)
π
H
→ ⊕ n=0,...,l−1 Ind
G
M (σ n )
ϕ →
(ϕ n ) n=1,...,l
est un isomorphisme équivariant pour les actions de G(F ). L’opérateur B permute
les composantes σ n . Par construction, l’opérateur ˜
π
H (γ) permute conformément
les composantes de la décomposition (7). Il en est de même de ˜
π
H (xγ) pour tout
x ∈ G(F ), autrement dit de ˜
π
H (γ
) pour tout γ
∈ ˜
G(F ). On veut montrer que
l’image du caractère de ˜
π
H par l’homomorphisme (1) appartient à D ell ( ˜
G(F )).
Cette image ne dépend que la restriction de ce caractère à ˜
G(F ). Les composantes
de (7) permutées non trivialement ne contribuent pas à cette restriction. On peut
donc se limiter aux n tels que σ n est conservé par B. Pour un tel n, la restriction
de ˜
π
H à ˜
G(F ) conserve la composante Ind
G
M (σ n ) du membre de droite de (7). Il
suffit de prouver que cette action de ˜
G(F ) dans cette composante est elliptique
ou de trace nulle. Fixons un tel n, notons simplement σ = σ n , π = Ind
G
M (σ) et
A la restriction de B à σ. La représentation σ est de la série discrète et on a
(A, γ) ∈ N
˜
G (σ). On voit que l’action de ˜
G(F ) dans π est déduite de (A, γ) par le
même procédé décrit au début de la preuve. Il suffit de prouver que (σ, γ) vérifie les
conditions requises, à savoir que W 0 (σ) = {1} et que l’action sur A M /A G déduite
de γ est sans point fixe non nul. Ces deux propriétés résultent comme dans la
preuve de (5) des propriétés analogues de (Σ, γ). Cela achève la preuve.
III.2.5 Endoscopie
Du côté dual, on a une suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
H
ˆ ι
→ ˆ
G → 1
qui est équivariante pour les actions galoisiennes. Cette suite s’étend en une suite
exacte
1 → ˆ
D →
L H
L ι
→
L G → 1.
Soit G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G) (on oublie a qui est
trivial). Fixons s
H
∈ ˆ
H qui s’envoie sur s. Cet élément est uniquement déterminé
modulo ˆ
D, a fortiori modulo Z( ˆ
H). On a une suite exacte
1 → ˆ
D → ˆ
H s H → ˆ
G s → 1.
Notons H
l’image inverse de G
dans
L H. Pour tout w ∈ W F , fixons g w =
(g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse par w G sur ˆ
G
= ˆ
G s . Relevons g w en h w =