III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
331
Par tensorisation, (Σ ⊗ (κ ◦ q)
n ) ◦ ad γ est isomorphe à Σ ⊗ (κ ◦ q)
j+n pour tout
n ∈ {0, . . . ,
N
l − 1}. Supposons d’abord j = 0. Puisque l’opérateur A
H réalise les
isomorphismes ci-dessus, il permute sans point fixe l’ensemble des composantes
irréductibles de σ
H . Il résulte de sa construction que l’opérateur ˜
π
H (γ) permute
sans point fixe les différentes composantes du membre de droite de (6). Il en est
de même de ˜
π
H (xγ) pour tout x ∈ H(F ). Il est alors clair que le caractère de
˜
π
H est nul. Supposons maintenant j = 0. Pour la même raison, l’opérateur ˜
π
H (γ)
conserve chaque composante du membre de droite de (6) et ˜
π se décompose en
représentations agissant dans chaque composante. Il suffit de voir que chacune de
ces sous-représentations est elliptique ou de caractère nul. On ne perd rien à se
limiter à la première composante Ind
H
P H (Σ). La représentation Σ est de la série
discrète. L’opérateur A
H se restreint à Σ en un opérateur B qui vérifie
Σ(ad γ (x)) ◦ B = B ◦ Σ(x)
pour tout x ∈ M
H (F ). Donc (B, γ) ∈ N
H (Σ). On voit que la restriction de ˜
π
H (γ)
à Ind
H
P H (Σ) s’obtient à partir du couple (B, γ) par le même procédé rappelé plus
haut qui construit les représentations elliptiques. Il suffit de montrer que Σ et
γ vérifient les conditions requises plus haut, à savoir que l’action déduite de γ
dans A M H /A H est sans point fixe non nul et que W 0 (Σ) = {1}. La première
condition résulte de l’hypothèse sur γ et de l’isomorphisme A M /A G A M H /A H .
Supposons W 0 (Σ) = {1}. Par définition de ce groupe, on peut trouver un Levi
L
H de H contenant strictement M
H , tel que A M H /A L H soit de dimension 1 et
tel que la condition suivante soit vérifiée. L’ensemble P
L
H (M
H ) a deux éléments,
disons Q
H et ¯
Q
H . Pour λ ∈ A M H ,C , on définit Σ λ par tensorisation de Σ avec
le caractère x → e H M H (x),λ de M
H (F ). On définit l’opérateur d’entrelacement
usuel J ¯
Q H |Q H (Σ λ ), qui est méromorphe en λ. Alors cet opérateur a un pôle en λ =
0. Posons L = L
H
∩ G, Q = Q
H
∩ L, ¯
Q = ¯
Q
H
∩ L. Les opérateurs d’entrelacement
vivent dans le groupe dérivé de L
H , a fortiori dans L. Puisque la restriction de
Σ à M (F ) se décompose en σ ⊕ · · · ⊕ σ ◦ ad δ l−1 , il existe j ∈ {0, . . . , l − 1} tel
que l’opérateur J ¯
Q|Q (σ λ ◦ ad δ j ) ait un pôle en λ = 0. Conjuguer par δ
j ne change
pas cette propriété. Donc J ¯
Q|Q (σ λ ) a un pôle en λ = 0. Mais alors W 0 (σ) = {1}
contrairement à l’hypothèse. Cela achève la preuve de (5).
Il résulte de (3) et (5) que, si le caractère de ˜
π n’est pas nul, c’est l’image
par l’homomorphisme (1) d’un élément de D ell (H(F )).
La réciproque est similaire. On part cette fois d’un Levi semi-standard M
H
de H, d’une représentation Σ de M
H (F ) irréductible et de la série discrète et d’un
couple (B, γ) ∈ N
H (Σ). On suppose que l’automorphisme de A M H /A H déduit de
γ n’a pas de point fixe non nul et que W 0 (Σ) = {1}. On déduit de ces données une
représentation ˜
π
H de ˜
H(F ) = H(F ) dans π
H = Ind
H
M H (Σ). L’espace D ell (H(F ))
est engendré par les caractères de telles représentations. On ne change pas la
représentation ˜
π
H si l’on remplace le couple (B, γ) par (Σ(x)B, xγ) pour un x ∈
M
H (F ). Notons que cette opération ne change pas l’automorphisme de A M H /A H
déduit de γ. Puisque M
H (F ) s’envoie surjectivement sur D(F ), on peut par un tel
331
Par tensorisation, (Σ ⊗ (κ ◦ q)
n ) ◦ ad γ est isomorphe à Σ ⊗ (κ ◦ q)
j+n pour tout
n ∈ {0, . . . ,
N
l − 1}. Supposons d’abord j = 0. Puisque l’opérateur A
H réalise les
isomorphismes ci-dessus, il permute sans point fixe l’ensemble des composantes
irréductibles de σ
H . Il résulte de sa construction que l’opérateur ˜
π
H (γ) permute
sans point fixe les différentes composantes du membre de droite de (6). Il en est
de même de ˜
π
H (xγ) pour tout x ∈ H(F ). Il est alors clair que le caractère de
˜
π
H est nul. Supposons maintenant j = 0. Pour la même raison, l’opérateur ˜
π
H (γ)
conserve chaque composante du membre de droite de (6) et ˜
π se décompose en
représentations agissant dans chaque composante. Il suffit de voir que chacune de
ces sous-représentations est elliptique ou de caractère nul. On ne perd rien à se
limiter à la première composante Ind
H
P H (Σ). La représentation Σ est de la série
discrète. L’opérateur A
H se restreint à Σ en un opérateur B qui vérifie
Σ(ad γ (x)) ◦ B = B ◦ Σ(x)
pour tout x ∈ M
H (F ). Donc (B, γ) ∈ N
H (Σ). On voit que la restriction de ˜
π
H (γ)
à Ind
H
P H (Σ) s’obtient à partir du couple (B, γ) par le même procédé rappelé plus
haut qui construit les représentations elliptiques. Il suffit de montrer que Σ et
γ vérifient les conditions requises plus haut, à savoir que l’action déduite de γ
dans A M H /A H est sans point fixe non nul et que W 0 (Σ) = {1}. La première
condition résulte de l’hypothèse sur γ et de l’isomorphisme A M /A G A M H /A H .
Supposons W 0 (Σ) = {1}. Par définition de ce groupe, on peut trouver un Levi
L
H de H contenant strictement M
H , tel que A M H /A L H soit de dimension 1 et
tel que la condition suivante soit vérifiée. L’ensemble P
L
H (M
H ) a deux éléments,
disons Q
H et ¯
Q
H . Pour λ ∈ A M H ,C , on définit Σ λ par tensorisation de Σ avec
le caractère x → e H M H (x),λ de M
H (F ). On définit l’opérateur d’entrelacement
usuel J ¯
Q H |Q H (Σ λ ), qui est méromorphe en λ. Alors cet opérateur a un pôle en λ =
0. Posons L = L
H
∩ G, Q = Q
H
∩ L, ¯
Q = ¯
Q
H
∩ L. Les opérateurs d’entrelacement
vivent dans le groupe dérivé de L
H , a fortiori dans L. Puisque la restriction de
Σ à M (F ) se décompose en σ ⊕ · · · ⊕ σ ◦ ad δ l−1 , il existe j ∈ {0, . . . , l − 1} tel
que l’opérateur J ¯
Q|Q (σ λ ◦ ad δ j ) ait un pôle en λ = 0. Conjuguer par δ
j ne change
pas cette propriété. Donc J ¯
Q|Q (σ λ ) a un pôle en λ = 0. Mais alors W 0 (σ) = {1}
contrairement à l’hypothèse. Cela achève la preuve de (5).
Il résulte de (3) et (5) que, si le caractère de ˜
π n’est pas nul, c’est l’image
par l’homomorphisme (1) d’un élément de D ell (H(F )).
La réciproque est similaire. On part cette fois d’un Levi semi-standard M
H
de H, d’une représentation Σ de M
H (F ) irréductible et de la série discrète et d’un
couple (B, γ) ∈ N
H (Σ). On suppose que l’automorphisme de A M H /A H déduit de
γ n’a pas de point fixe non nul et que W 0 (Σ) = {1}. On déduit de ces données une
représentation ˜
π
H de ˜
H(F ) = H(F ) dans π
H = Ind
H
M H (Σ). L’espace D ell (H(F ))
est engendré par les caractères de telles représentations. On ne change pas la
représentation ˜
π
H si l’on remplace le couple (B, γ) par (Σ(x)B, xγ) pour un x ∈
M
H (F ). Notons que cette opération ne change pas l’automorphisme de A M H /A H
déduit de γ. Puisque M
H (F ) s’envoie surjectivement sur D(F ), on peut par un tel