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Chapitre III. Réductions et preuves
Notons P
H le sous-groupe parabolique de H déduit de P . On peut utiliser pour
chaque composante Σ ⊗ (κ ◦ q)
n les mêmes facteurs de normalisation que pour σ et
définir ainsi l’opérateur R P H | adγ (P H ) (Σ⊗(κ◦q)
n ). Ces opérateurs se regroupent en
un opérateur R P H | adγ (P H ) (σ
H ). Posons π
H = Ind
H
P H (σ
H ). On copie la définition
ci-dessus pour définir un opérateur ˜
π
H (γ) de l’espace V π H , puis une représentation
(π
H , ˜
π
H ) de ˜
H(F ) = H(F ) (on a par définition ˜
π
H (xγ) = π
H (x)˜ π
H (γ) pour tout
x ∈ H(F )). Montrons que
(3) l’image par l’homomorphisme (2) du caractère de ˜
π
H est N fois le caractère
de ˜
π.
Pour la simplicité de l’écriture, on ne distingue pas les représentations de leurs
espaces naturels. Notons : σ
H
→ σ l’évaluation f → f (1). Pour ϕ ∈ σ
H et n ∈ Z,
définissons une fonction ϕ n sur G(F ) par ϕ n (g) = ◦ ϕ(γ
n g). Elle appartient à
Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ ). Puisque H(F ) est réunion disjointe des γ
n Z(H; F )G(F ) pour
n = 0, . . . , N − 1 et M
H (F ) est réunion disjointe des γ
n Z(H; F )M (F ) pour les
mêmes n, on vérifie que l’application
(4)
π
H = Ind
H
P H (σ
H ) → ⊕ n=0,...,N −1 Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ )
ϕ
→
(ϕ n ) n=0,...,N −1
est un isomorphisme. Il est équivariant pour les actions de G(F ). Pour tout n,
définissons une application
Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ ) →
Ind
G
P (σ)
ϕ n
→ ψ n = R P | ad −n γ (P ) (σ)(A
−n
◦ ϕ n ) .
C’est un isomorphisme. En composant (4) avec ces isomorphismes, on obtient un
isomorphisme G(F )-équivariant
π
H = Ind
H
P H (σ
H ) → ⊕ n=0,...,N −1 Ind
G
P (σ)
ϕ
→
(ψ n ) n=0,...,N −1 .
Un simple calcul montre que cet isomorphisme transporte l’opérateur ˜
π
H (γ) de
l’espace de gauche sur l’opérateur diagonal de l’espace de droite, dont chaque
composante est ˜
π(γ). L’assertion (3) en résulte.
Montrons que :
(5) ou bien la représentation (π
H , ˜
π
H ) de ˜
H(F ) = H(F ) est somme de représentations elliptiques, ou bien son caractère est nul.
Remarquons d’abord que, de la décomposition de σ
H en composantes irréductibles résulte une décomposition en composantes pas forcément irréductibles
(6)
π
H = Ind
H
P H (Σ) ⊕ · · · ⊕ Ind
H
P H (Σ ⊗ (κ ◦ q)
N
l −1 )).
Puisque σ
H
◦ ad γ est isomorphe σ
H , sa composante irréductible Σ ◦ ad γ est isomorphe à une autre composante irréductible Σ ⊗ (κ ◦ q)
j , avec j ∈ {0, . . . ,
N
l − 1}.
Chapitre III. Réductions et preuves
Notons P
H le sous-groupe parabolique de H déduit de P . On peut utiliser pour
chaque composante Σ ⊗ (κ ◦ q)
n les mêmes facteurs de normalisation que pour σ et
définir ainsi l’opérateur R P H | adγ (P H ) (Σ⊗(κ◦q)
n ). Ces opérateurs se regroupent en
un opérateur R P H | adγ (P H ) (σ
H ). Posons π
H = Ind
H
P H (σ
H ). On copie la définition
ci-dessus pour définir un opérateur ˜
π
H (γ) de l’espace V π H , puis une représentation
(π
H , ˜
π
H ) de ˜
H(F ) = H(F ) (on a par définition ˜
π
H (xγ) = π
H (x)˜ π
H (γ) pour tout
x ∈ H(F )). Montrons que
(3) l’image par l’homomorphisme (2) du caractère de ˜
π
H est N fois le caractère
de ˜
π.
Pour la simplicité de l’écriture, on ne distingue pas les représentations de leurs
espaces naturels. Notons : σ
H
→ σ l’évaluation f → f (1). Pour ϕ ∈ σ
H et n ∈ Z,
définissons une fonction ϕ n sur G(F ) par ϕ n (g) = ◦ ϕ(γ
n g). Elle appartient à
Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ ). Puisque H(F ) est réunion disjointe des γ
n Z(H; F )G(F ) pour
n = 0, . . . , N − 1 et M
H (F ) est réunion disjointe des γ
n Z(H; F )M (F ) pour les
mêmes n, on vérifie que l’application
(4)
π
H = Ind
H
P H (σ
H ) → ⊕ n=0,...,N −1 Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ )
ϕ
→
(ϕ n ) n=0,...,N −1
est un isomorphisme. Il est équivariant pour les actions de G(F ). Pour tout n,
définissons une application
Ind
G
ad −n
γ (P ) (σ ◦ ad
n
γ ) →
Ind
G
P (σ)
ϕ n
→ ψ n = R P | ad −n γ (P ) (σ)(A
−n
◦ ϕ n ) .
C’est un isomorphisme. En composant (4) avec ces isomorphismes, on obtient un
isomorphisme G(F )-équivariant
π
H = Ind
H
P H (σ
H ) → ⊕ n=0,...,N −1 Ind
G
P (σ)
ϕ
→
(ψ n ) n=0,...,N −1 .
Un simple calcul montre que cet isomorphisme transporte l’opérateur ˜
π
H (γ) de
l’espace de gauche sur l’opérateur diagonal de l’espace de droite, dont chaque
composante est ˜
π(γ). L’assertion (3) en résulte.
Montrons que :
(5) ou bien la représentation (π
H , ˜
π
H ) de ˜
H(F ) = H(F ) est somme de représentations elliptiques, ou bien son caractère est nul.
Remarquons d’abord que, de la décomposition de σ
H en composantes irréductibles résulte une décomposition en composantes pas forcément irréductibles
(6)
π
H = Ind
H
P H (Σ) ⊕ · · · ⊕ Ind
H
P H (Σ ⊗ (κ ◦ q)
N
l −1 )).
Puisque σ
H
◦ ad γ est isomorphe σ
H , sa composante irréductible Σ ◦ ad γ est isomorphe à une autre composante irréductible Σ ⊗ (κ ◦ q)
j , avec j ∈ {0, . . . ,
N
l − 1}.