III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
329
Lemme. L’homomorphisme précédent se restreint en un homomorphisme surjectif
D ell (H(F )) → D ell ( ˜
G(F )).
Preuve. Soient M un Levi semi-standard de G, σ une représentation irréductible
et de la série discrète de M (F ) et (A, γ) ∈ N
˜
G (σ). C’est-à-dire que A est un
automorphisme unitaire de l’espace V σ de σ, γ ∈ ˜
G(F ) normalise M et on a la
relation
σ(ad γ (x)) ◦ A = A ◦ σ(x)
pour tout x ∈ M (F ). On note W 0 (σ) le groupe habituel de la théorie des R-groupes
(cf. [81] 1.11) et on suppose W 0 (σ) = {1}. On suppose aussi que l’automorphisme
de A M /A G défini par γ n’a pas de point fixe non nul. Fixons P ∈ P(M ). A l’aide de
(A, γ), on a défini en [81] 2.9 une représentation (π, ˜
π) de ˜
G(F ). La représentation
π n’est autre que l’induite Ind
G
P (σ). Elle n’est pas irréductible en général. En la
réalisant dans son modèle V π habituel, l’opérateur ˜
π(γ) est le composé des trois
opérateurs
– e → A ◦ e de V π dans V π , où π
= Ind
G
P (σ ◦ ad γ ) ;
– e → ∂ P (γ)
1/2 e ◦ ad
−1
γ de V π dans V π , où π
= Ind
G
adγ (P ) (σ) ; ∂ P (γ)
1/2 est
un facteur de normalisation sans importance pour nous ;
– l’opérateur d’entrelacement normalisé R P | adγ (P ) (σ) : V π → V π .
Le caractère de ˜
π appartient à D ell ( ˜
G(F )) (il peut éventuellement être nul)
et cet espace est engendré par de tels caractères.
Remarquons que cette construction s’applique pour construire D ell (H(F )),
en posant simplement ˜
H = H.
Notons M
H le Levi de H associé à M . Fixons un caractère unitaire χ de
Z(H; F ) qui coïncide sur Z(M ; F ) ∩ Z(H; F ) avec le caractère central de σ. On
prolonge σ en une représentation encore notée σ de Z(H; F )M (F ) par σ(zx) =
χ(z)σ(x) pour tous z ∈ Z(H; F ) et x ∈ M (F ). Posons σ
H = Ind
M
H (F )
Z(H;F )M(F ) (σ)
que l’on réalise dans son espace habituel V σ H . On définit un opérateur A
H de
V σ H par
(A
H f )(x) = Af (γ
−1 xγ).
Il vérifie la relation
σ
H (ad γ (x)) ◦ A
H = A
H
◦ σ
H (x)
pour tout x ∈ M
H (F ). Fixons δ ∈ ˜
M (F ), notons l le plus petit entier strictement
positif tel que σ ◦ (ad δ )
l
σ. D’après la théorie de Mackey, la représentation σ
H
se décompose en une somme
Σ ⊕ (Σ ⊗ (κ ◦ q)) ⊕ · · · ⊗ (Σ ⊗ (κ ◦ q)
N
l −1 )
de représentations irréductibles et deux à deux inéquivalentes, où N est l’ordre
de d dans D(F )/q(Z(H; F )) et κ est un caractère primitif de D(F )/q(Z(H; F )).
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Lemme. L’homomorphisme précédent se restreint en un homomorphisme surjectif
D ell (H(F )) → D ell ( ˜
G(F )).
Preuve. Soient M un Levi semi-standard de G, σ une représentation irréductible
et de la série discrète de M (F ) et (A, γ) ∈ N
˜
G (σ). C’est-à-dire que A est un
automorphisme unitaire de l’espace V σ de σ, γ ∈ ˜
G(F ) normalise M et on a la
relation
σ(ad γ (x)) ◦ A = A ◦ σ(x)
pour tout x ∈ M (F ). On note W 0 (σ) le groupe habituel de la théorie des R-groupes
(cf. [81] 1.11) et on suppose W 0 (σ) = {1}. On suppose aussi que l’automorphisme
de A M /A G défini par γ n’a pas de point fixe non nul. Fixons P ∈ P(M ). A l’aide de
(A, γ), on a défini en [81] 2.9 une représentation (π, ˜
π) de ˜
G(F ). La représentation
π n’est autre que l’induite Ind
G
P (σ). Elle n’est pas irréductible en général. En la
réalisant dans son modèle V π habituel, l’opérateur ˜
π(γ) est le composé des trois
opérateurs
– e → A ◦ e de V π dans V π , où π
= Ind
G
P (σ ◦ ad γ ) ;
– e → ∂ P (γ)
1/2 e ◦ ad
−1
γ de V π dans V π , où π
= Ind
G
adγ (P ) (σ) ; ∂ P (γ)
1/2 est
un facteur de normalisation sans importance pour nous ;
– l’opérateur d’entrelacement normalisé R P | adγ (P ) (σ) : V π → V π .
Le caractère de ˜
π appartient à D ell ( ˜
G(F )) (il peut éventuellement être nul)
et cet espace est engendré par de tels caractères.
Remarquons que cette construction s’applique pour construire D ell (H(F )),
en posant simplement ˜
H = H.
Notons M
H le Levi de H associé à M . Fixons un caractère unitaire χ de
Z(H; F ) qui coïncide sur Z(M ; F ) ∩ Z(H; F ) avec le caractère central de σ. On
prolonge σ en une représentation encore notée σ de Z(H; F )M (F ) par σ(zx) =
χ(z)σ(x) pour tous z ∈ Z(H; F ) et x ∈ M (F ). Posons σ
H = Ind
M
H (F )
Z(H;F )M(F ) (σ)
que l’on réalise dans son espace habituel V σ H . On définit un opérateur A
H de
V σ H par
(A
H f )(x) = Af (γ
−1 xγ).
Il vérifie la relation
σ
H (ad γ (x)) ◦ A
H = A
H
◦ σ
H (x)
pour tout x ∈ M
H (F ). Fixons δ ∈ ˜
M (F ), notons l le plus petit entier strictement
positif tel que σ ◦ (ad δ )
l
σ. D’après la théorie de Mackey, la représentation σ
H
se décompose en une somme
Σ ⊕ (Σ ⊗ (κ ◦ q)) ⊕ · · · ⊗ (Σ ⊗ (κ ◦ q)
N
l −1 )
de représentations irréductibles et deux à deux inéquivalentes, où N est l’ordre
de d dans D(F )/q(Z(H; F )) et κ est un caractère primitif de D(F )/q(Z(H; F )).