328
Chapitre III. Réductions et preuves
une racine N -ième c de c 0 . Pour h ∈ H(F ), écrivons h = zgγ
n , avec z ∈ Z(H; F ),
g ∈ G(F ) et n ∈ Z. Posons π
H (h) = χ
H
π (z)π(g)(c
−1 ˜
π(γ))
n . On vérifie que cela ne
dépend pas de la décomposition choisie de h et que l’application π
H ainsi définie
est une représentation admissible de H(F ) dans V π . Elle est irréductible puisque
sa restriction π à G(F ) l’est. Introduisons le groupe localement compact D(F )
∨
des caractères unitaires de D(F ). La théorie de la dualité pour les groupes abéliens localement compacts nous dit que Mes(D(F )
∨ ) est isomorphe à Mes(D(F ))
∗ .
Autrement dit, de la mesure que l’on a fixée sur D(F ) se déduit une mesure duale
dκ sur D(F )
∨ . Fixons une mesure de Haar dh sur H(F ), qui détermine une telle
mesure dg sur G(F ). De ˜
π, resp. π
H , se déduit un caractère-distribution I
˜
G (˜ π, .),
resp. I
H (π
H , .), sur C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), resp. sur C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
Pour f ∈ C
∞
c (H(F )), on vérifie que l’intégrale de gauche ci-dessous est absolument
convergente et que l’on a l’égalité
(1)
D(F ) ∨
I
H (π
H , f(κ ◦ q) ⊗ dh)κ(d)
−1 dκ = I
˜
G (res
H
˜
G
(f ) ⊗ dg).
Comme on le sait, les caractères-distributions sont associés à des fonctions localement intégrables trace ˜
π sur ˜
G(F ) et trace π
H sur H(F ). Alors trace ˜
π n’est autre
que la restriction de trace π
H à ˜
G(F ). On note D spec ( ˜
G(F )) l’espace vectoriel engendré par les formes linéaires I
˜
G (˜ π, .) quand (π, ˜
π) décrit les représentations irréductibles de ˜
G(F ). On peut l’identifier à l’espace de fonctions sur ˜
G(F ) engendré
par les trace ˜
π.
Inversement, soit π
H une représentation admissible irréductible de H(F ).
Utilisons la théorie de Mackey appliquée à H(F ) et à son sous-groupe distingué
G(F )Z(H; F ), dont le quotient D(F )/q(Z(H; F )) est engendré par l’image de d.
Cette théorie nous dit que, si la restriction de trace π
H n’est pas identiquement
nulle sur ˜
G(F ), alors la restriction π de π
H à G(F ) est irréductible. Notons dans
ce cas ˜
π la restriction de π
H à ˜
G(F ). Le couple (π, ˜
π) est une représentation
G(F )-irréductible de ˜
G(F ). Le procédé ci-dessus appliqué à ce couple, en prenant
pour caractère χ
H
π le caractère central de π
H , reconstruit π
H . On obtient que
l’application qui, à trace π
H , associe sa restriction à ˜
G(F ), est un homomorphisme
surjectif
(2)
D spec (H(F )) → D spec ( ˜
G(F )).
Il est clair qu’il se restreint en un homomorphisme surjectif
D temp (H(F )) → D temp ( ˜
G(F )),
les indices temp signifiant que l’on se limite aux représentations tempérées. On
a introduit en [81] 2.12 le sous-espace D ell ( ˜
G(F )) ⊂ D temp ( ˜
G(F )) engendré par
les caractères de représentations elliptiques au sens d’Arthur. On a le sous-espace
analogue D ell (H(F )) ⊂ D temp (H(F )).
Chapitre III. Réductions et preuves
une racine N -ième c de c 0 . Pour h ∈ H(F ), écrivons h = zgγ
n , avec z ∈ Z(H; F ),
g ∈ G(F ) et n ∈ Z. Posons π
H (h) = χ
H
π (z)π(g)(c
−1 ˜
π(γ))
n . On vérifie que cela ne
dépend pas de la décomposition choisie de h et que l’application π
H ainsi définie
est une représentation admissible de H(F ) dans V π . Elle est irréductible puisque
sa restriction π à G(F ) l’est. Introduisons le groupe localement compact D(F )
∨
des caractères unitaires de D(F ). La théorie de la dualité pour les groupes abéliens localement compacts nous dit que Mes(D(F )
∨ ) est isomorphe à Mes(D(F ))
∗ .
Autrement dit, de la mesure que l’on a fixée sur D(F ) se déduit une mesure duale
dκ sur D(F )
∨ . Fixons une mesure de Haar dh sur H(F ), qui détermine une telle
mesure dg sur G(F ). De ˜
π, resp. π
H , se déduit un caractère-distribution I
˜
G (˜ π, .),
resp. I
H (π
H , .), sur C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), resp. sur C
∞
c (H(F )) ⊗ Mes(H(F )).
Pour f ∈ C
∞
c (H(F )), on vérifie que l’intégrale de gauche ci-dessous est absolument
convergente et que l’on a l’égalité
(1)
D(F ) ∨
I
H (π
H , f(κ ◦ q) ⊗ dh)κ(d)
−1 dκ = I
˜
G (res
H
˜
G
(f ) ⊗ dg).
Comme on le sait, les caractères-distributions sont associés à des fonctions localement intégrables trace ˜
π sur ˜
G(F ) et trace π
H sur H(F ). Alors trace ˜
π n’est autre
que la restriction de trace π
H à ˜
G(F ). On note D spec ( ˜
G(F )) l’espace vectoriel engendré par les formes linéaires I
˜
G (˜ π, .) quand (π, ˜
π) décrit les représentations irréductibles de ˜
G(F ). On peut l’identifier à l’espace de fonctions sur ˜
G(F ) engendré
par les trace ˜
π.
Inversement, soit π
H une représentation admissible irréductible de H(F ).
Utilisons la théorie de Mackey appliquée à H(F ) et à son sous-groupe distingué
G(F )Z(H; F ), dont le quotient D(F )/q(Z(H; F )) est engendré par l’image de d.
Cette théorie nous dit que, si la restriction de trace π
H n’est pas identiquement
nulle sur ˜
G(F ), alors la restriction π de π
H à G(F ) est irréductible. Notons dans
ce cas ˜
π la restriction de π
H à ˜
G(F ). Le couple (π, ˜
π) est une représentation
G(F )-irréductible de ˜
G(F ). Le procédé ci-dessus appliqué à ce couple, en prenant
pour caractère χ
H
π le caractère central de π
H , reconstruit π
H . On obtient que
l’application qui, à trace π
H , associe sa restriction à ˜
G(F ), est un homomorphisme
surjectif
(2)
D spec (H(F )) → D spec ( ˜
G(F )).
Il est clair qu’il se restreint en un homomorphisme surjectif
D temp (H(F )) → D temp ( ˜
G(F )),
les indices temp signifiant que l’on se limite aux représentations tempérées. On
a introduit en [81] 2.12 le sous-espace D ell ( ˜
G(F )) ⊂ D temp ( ˜
G(F )) engendré par
les caractères de représentations elliptiques au sens d’Arthur. On a le sous-espace
analogue D ell (H(F )) ⊂ D temp (H(F )).