III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
327
distribution sur H(F ) à support dans un nombre fini de classes de conjugaison par
H(F ). Autrement dit, on obtient un homomorphisme res
H,∗
˜
G
: D g´ eom ( ˜
G(F )) →
D g´ eom (H(F )).
On a vu qu’il était plus canonique de considérer les espaces I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) et D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . La suite exacte
1 → G(F ) → H(F ) → D(F ) → 1
induit un isomorphisme Mes(H(F )) Mes(G(F )) ⊗ Mes(D(F )). On choisit une
fois pour toutes une mesure de Haar sur D(F ). L’isomorphisme ci-dessus devient
simplement un isomorphisme Mes(H(F )) Mes(G(F )). On a aussi un isomorphisme dual Mes(H(F ))
∗
Mes(G(F ))
∗ . On peut voir les homomorphismes cidessus sous la forme
res
H
˜
G
: I(H(F )) ⊗ Mes(H(F )) → I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )),
res
H,∗
˜
G
: D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D g´ eom (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
∗ .
Pour un élément γ ∈ ˜
G reg (F ), la classe de conjugaison stable de γ dans
˜
G(F ) est égale à la classe de conjugaison stable de γ dans H(F ). La propriété
2.3(3) implique d’ailleurs que, si ˙
X (γ) est un ensemble de représentants des classes
de conjugaison par G(F ) dans cette classe de conjugaison stable, c’est aussi un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par H(F ). En choisissant des
mesures comme ci-dessus, on voit que
S
˜
G (γ, res
H
˜
G
(f )) = S
H (γ, f )
pour tout f ∈ C
∞
c (H(F )). Il en résulte que l’homomorphisme de restriction se
quotiente en un homomorphisme
res
H
˜
G
: SI(H(F )) ⊗ Mes(H(F )) → SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
On a un homomorphisme dual
res
H,∗
˜
G
: D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
∗ .
Les choses sont moins simples du côté spectral. Soit (π, ˜
π) une représentation G(F )-irréductible de ˜
G(F ). C’est-à-dire que π est une représentation admissible irréductible de G(F ) dans un espace complexe V π et ˜
π est une application de ˜
G(F ) dans le groupe des automorphismes linéaires de V π telle que
˜
π(gγg
) = π(g)˜ π(γ)π(g
) pour tous g, g
∈ G(F ) et γ ∈ ˜
G(F ). Notons χ π le
caractère central de π et prolongeons-le en un caractère χ
H
π de Z(H; F ). Fixons
γ 0 ∈ ˜
G(F ), notons N l’ordre de d dans le groupe fini D(F )/q(Z(H; F )). Alors γ
N
0
appartient à Z(H; F )G(F ) et on peut l’écrire conformément γ
N
0 = z 0 g 0 . Le lemme
de Schur implique qu’il existe c 0 ∈ C
× tel que ˜
π(γ 0 )
N = c 0 χ
H
π (z 0 )π(g 0 ). Fixons
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distribution sur H(F ) à support dans un nombre fini de classes de conjugaison par
H(F ). Autrement dit, on obtient un homomorphisme res
H,∗
˜
G
: D g´ eom ( ˜
G(F )) →
D g´ eom (H(F )).
On a vu qu’il était plus canonique de considérer les espaces I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) et D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . La suite exacte
1 → G(F ) → H(F ) → D(F ) → 1
induit un isomorphisme Mes(H(F )) Mes(G(F )) ⊗ Mes(D(F )). On choisit une
fois pour toutes une mesure de Haar sur D(F ). L’isomorphisme ci-dessus devient
simplement un isomorphisme Mes(H(F )) Mes(G(F )). On a aussi un isomorphisme dual Mes(H(F ))
∗
Mes(G(F ))
∗ . On peut voir les homomorphismes cidessus sous la forme
res
H
˜
G
: I(H(F )) ⊗ Mes(H(F )) → I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )),
res
H,∗
˜
G
: D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D g´ eom (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
∗ .
Pour un élément γ ∈ ˜
G reg (F ), la classe de conjugaison stable de γ dans
˜
G(F ) est égale à la classe de conjugaison stable de γ dans H(F ). La propriété
2.3(3) implique d’ailleurs que, si ˙
X (γ) est un ensemble de représentants des classes
de conjugaison par G(F ) dans cette classe de conjugaison stable, c’est aussi un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par H(F ). En choisissant des
mesures comme ci-dessus, on voit que
S
˜
G (γ, res
H
˜
G
(f )) = S
H (γ, f )
pour tout f ∈ C
∞
c (H(F )). Il en résulte que l’homomorphisme de restriction se
quotiente en un homomorphisme
res
H
˜
G
: SI(H(F )) ⊗ Mes(H(F )) → SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
On a un homomorphisme dual
res
H,∗
˜
G
: D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (H(F )) ⊗ Mes(H(F ))
∗ .
Les choses sont moins simples du côté spectral. Soit (π, ˜
π) une représentation G(F )-irréductible de ˜
G(F ). C’est-à-dire que π est une représentation admissible irréductible de G(F ) dans un espace complexe V π et ˜
π est une application de ˜
G(F ) dans le groupe des automorphismes linéaires de V π telle que
˜
π(gγg
) = π(g)˜ π(γ)π(g
) pour tous g, g
∈ G(F ) et γ ∈ ˜
G(F ). Notons χ π le
caractère central de π et prolongeons-le en un caractère χ
H
π de Z(H; F ). Fixons
γ 0 ∈ ˜
G(F ), notons N l’ordre de d dans le groupe fini D(F )/q(Z(H; F )). Alors γ
N
0
appartient à Z(H; F )G(F ) et on peut l’écrire conformément γ
N
0 = z 0 g 0 . Le lemme
de Schur implique qu’il existe c 0 ∈ C
× tel que ˜
π(γ 0 )
N = c 0 χ
H
π (z 0 )π(g 0 ). Fixons