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Chapitre III. Réductions et preuves
y 1 ∈ D(F ) et f (y 1 ) = q
(z
). L’élément z = (z
, y 1 ) appartient à Z(H; F ). Alors
y = q(z)d
n . Cela prouve que D(F ) est engendré par q(Z(H; F )) et par d. Puisque
d appartient à q(H(F )) et que q(Z(H; F )) est inclus dans ce groupe, on a aussi
D(F ) = q(H(F )).
Pour la suite de la section, les hypothèses sont celles de ce paragraphe et on
fixe des objets vérifiant la proposition. Pour simplifier les notations, on oublie ι et
˜ ι en identifiant G et ˜
G à des sous-ensembles de H via ces plongements.
Soit γ ∈ ˜
G(F ). La propriété (viii) entraîne que
(1) tout élément de H(F ) peut s’écrire γ
n zg, avec n ∈ Z, z ∈ Z(H; F ) et g ∈
G(F ).
Puisque γ appartient à Z H (γ; F ), il en résulte que
(2) Z H (γ; F ) est le sous-groupe de H(F ) engendré par γ, Z(H; F ) et Z G (γ; F ).
On a aussi
(3) l’application naturelle Z G (γ; F )\G(F ) → Z H (γ; F )\H(F ) est bijective.
En effet, elle est évidemment injective. Les propriétés (1) et (2) entraînent
sa surjectivité.
Il y a une bijection M → M
H entre Levi de G et Levi de H : M
H est
engendré par M et Z(H) ; inversement, M = G ∩ M
H . Puisque ˜
G est à torsion
intérieure, il y a aussi une bijection M → ˜
M entre Levi de G et espaces de Levi de
˜
G. On a simplement ˜
M = M
H
∩ ˜
G. Il est clair que, pour tout espace de Levi ˜
M ,
le groupe M
H et les mêmes objets D, q, d vérifient la proposition du paragraphe
précédent relativement à ˜
M .
III.2.4 Fonctions, intégrales orbitales, représentations
De l’inclusion ˜
G(F ) ⊂ H(F ) se déduit un homomorphisme de restriction res
H
˜
G
:
C
∞
c (H(F )) → C
∞
c ( ˜
G(F )). Dans le cas où F est archimédien, ces espaces sont
munis d’une topologie et cet homomorphisme est continu. Quel que soit F , on
a donc un homomorphisme dual qui, à une distribution sur ˜
G(F ), associe une
distribution sur H(F ). Soit γ ∈ ˜
G(F ), munissons Z G (γ; F )\G(F ) d’une mesure.
A ces données est associée une distribution sur ˜
G(F ), qui à f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) associe
l’intégrale orbitale
ZG(γ;F )\G(F )
f (g
−1 γg) dg.
D’après 2.3(2), son image dans l’espace des distributions sur H(F ) est l’intégrale orbitale sur H(F ) associée à γ et la mesure sur Z H (γ; F )\H(F ) transportée de celle fixée sur Z G (γ; F )\G(F ) par l’isomorphisme entre ces deux quotients. Il en résulte que l’homomorphisme res
H
˜
G
se quotiente en un homomorphisme
res
H
˜
G
: I(H(F )) → I( ˜
G(F )). En sens inverse, une distribution invariante sur ˜
G(F )
à support dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ) s’envoie sur une
Chapitre III. Réductions et preuves
y 1 ∈ D(F ) et f (y 1 ) = q
(z
). L’élément z = (z
, y 1 ) appartient à Z(H; F ). Alors
y = q(z)d
n . Cela prouve que D(F ) est engendré par q(Z(H; F )) et par d. Puisque
d appartient à q(H(F )) et que q(Z(H; F )) est inclus dans ce groupe, on a aussi
D(F ) = q(H(F )).
Pour la suite de la section, les hypothèses sont celles de ce paragraphe et on
fixe des objets vérifiant la proposition. Pour simplifier les notations, on oublie ι et
˜ ι en identifiant G et ˜
G à des sous-ensembles de H via ces plongements.
Soit γ ∈ ˜
G(F ). La propriété (viii) entraîne que
(1) tout élément de H(F ) peut s’écrire γ
n zg, avec n ∈ Z, z ∈ Z(H; F ) et g ∈
G(F ).
Puisque γ appartient à Z H (γ; F ), il en résulte que
(2) Z H (γ; F ) est le sous-groupe de H(F ) engendré par γ, Z(H; F ) et Z G (γ; F ).
On a aussi
(3) l’application naturelle Z G (γ; F )\G(F ) → Z H (γ; F )\H(F ) est bijective.
En effet, elle est évidemment injective. Les propriétés (1) et (2) entraînent
sa surjectivité.
Il y a une bijection M → M
H entre Levi de G et Levi de H : M
H est
engendré par M et Z(H) ; inversement, M = G ∩ M
H . Puisque ˜
G est à torsion
intérieure, il y a aussi une bijection M → ˜
M entre Levi de G et espaces de Levi de
˜
G. On a simplement ˜
M = M
H
∩ ˜
G. Il est clair que, pour tout espace de Levi ˜
M ,
le groupe M
H et les mêmes objets D, q, d vérifient la proposition du paragraphe
précédent relativement à ˜
M .
III.2.4 Fonctions, intégrales orbitales, représentations
De l’inclusion ˜
G(F ) ⊂ H(F ) se déduit un homomorphisme de restriction res
H
˜
G
:
C
∞
c (H(F )) → C
∞
c ( ˜
G(F )). Dans le cas où F est archimédien, ces espaces sont
munis d’une topologie et cet homomorphisme est continu. Quel que soit F , on
a donc un homomorphisme dual qui, à une distribution sur ˜
G(F ), associe une
distribution sur H(F ). Soit γ ∈ ˜
G(F ), munissons Z G (γ; F )\G(F ) d’une mesure.
A ces données est associée une distribution sur ˜
G(F ), qui à f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) associe
l’intégrale orbitale
ZG(γ;F )\G(F )
f (g
−1 γg) dg.
D’après 2.3(2), son image dans l’espace des distributions sur H(F ) est l’intégrale orbitale sur H(F ) associée à γ et la mesure sur Z H (γ; F )\H(F ) transportée de celle fixée sur Z G (γ; F )\G(F ) par l’isomorphisme entre ces deux quotients. Il en résulte que l’homomorphisme res
H
˜
G
se quotiente en un homomorphisme
res
H
˜
G
: I(H(F )) → I( ˜
G(F )). En sens inverse, une distribution invariante sur ˜
G(F )
à support dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ) s’envoie sur une