III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
325
III.2.3 Détordre un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et
à torsion intérieure
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose comme
toujours ˜
G(F ) = ∅.
Proposition. Il existe des objets H, D, d, ι, ˜ ι, q vérifiant les conditions suivantes :
(i) H est un groupe réductif connexe défini et quasi-déployé sur F ;
(ii) D est un tore défini sur F ;
(iii) d ∈ D(F ) ;
(iv) ι : G → H est un plongement défini sur F dont l’image est un sous-groupe
distingué de H ;
(v) q : H → D est un homomorphisme ;
(vi) la suite
1 → G
ι
→ H
q
→ D → 1
est exacte ;
(vii) en notant H d = {h ∈ H; q(h) = d}, ˜ ι : ˜
G → H d est un isomorphisme de
variétés algébriques définies sur F tel que ˜ ι(gγg
) = ι(g)˜ ι(γ)ι(g
) pour tous
g, g
∈ G, γ ∈ ˜
G ;
(viii) q(H(F )) = D(F ) et ce groupe est engendré par q(Z(H; F )) et par d.
Preuve. On a construit en [79] 1.3(6) et (7) des objets H
, D
, ι
, q
vérifiant les
analogues de (i), (ii), (iv), (v), et tels que Z(H
) soit connexe et soit un tore induit.
Comme on l’a dit en [I] 1.9, l’ensemble Z( ˜
G) s’identifie à celui des e ∈ ˜
G tels que
ad e soit l’identité. Fixons un élément e ∈ Z( ˜
G). Il y a un cocycle z : Γ F → Z(G) tel
que σ(e) = z(σ)
−1 e pour tout σ ∈ Γ F . Puisque Z(H
) est induit, le cocycle ι◦ z est
un bord. On peut fixer e H ∈ Z(H
) tel que σ(e H ) = ι◦z(σ)
−1 e H pour tout σ. On
pose d
= q
(e H ). On définit ˜ ι
: ˜
G → H
d par ˜ ι
(ge) = ι
(g)e H . On voit que toutes
nos conditions sont vérifiées, sauf éventuellement la huitième. Appliquons le lemme
du paragraphe précédent au tore D
et au groupe U engendré par q
(Z(H
; F ))
et d
. On obtient un tore que nous notons D et un homomorphisme f : D → D
.
Notons H le produit fibré de H
et D au-dessus de D
. C’est-à-dire que H( ¯
F ) est
le groupe des (x, y) ∈ H
( ¯
F ) × D( ¯
F ) tels que q
(x) = f (y). On note ι : G → H le
plongement g → (ι
(g), 1) et q : H → D la projection (x, y) → y. La suite
1 → G
ι
→ H
q
→ D → 1
est exacte. Cela prouve que H est connexe. On sait qu’il existe d ∈ D(F ) tel que
f (d) = d
. On fixe un tel d et on définit ˜ ι : ˜
G → H d par ˜ ι(γ) = (˜ ι
(γ), d). Les sept
premières propriétés de l’énoncé sont vérifiées. Le groupe Z(H) est le produit fibré
de Z(H
) et de D au-dessus de D
. Remarquons que d appartient à q(H(F )) : on
a d = q ◦ ˜ ι(γ) pour tout γ ∈ ˜
G(F ). Soit y ∈ D(F ). On a f (y) ∈ U . On peut donc
écrire f (y) = q
(z
)(d
)
n , avec z
∈ Z(H
; F ) et n ∈ Z. Posons y 1 = yd
−n . Alors
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III.2.3 Détordre un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et
à torsion intérieure
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose comme
toujours ˜
G(F ) = ∅.
Proposition. Il existe des objets H, D, d, ι, ˜ ι, q vérifiant les conditions suivantes :
(i) H est un groupe réductif connexe défini et quasi-déployé sur F ;
(ii) D est un tore défini sur F ;
(iii) d ∈ D(F ) ;
(iv) ι : G → H est un plongement défini sur F dont l’image est un sous-groupe
distingué de H ;
(v) q : H → D est un homomorphisme ;
(vi) la suite
1 → G
ι
→ H
q
→ D → 1
est exacte ;
(vii) en notant H d = {h ∈ H; q(h) = d}, ˜ ι : ˜
G → H d est un isomorphisme de
variétés algébriques définies sur F tel que ˜ ι(gγg
) = ι(g)˜ ι(γ)ι(g
) pour tous
g, g
∈ G, γ ∈ ˜
G ;
(viii) q(H(F )) = D(F ) et ce groupe est engendré par q(Z(H; F )) et par d.
Preuve. On a construit en [79] 1.3(6) et (7) des objets H
, D
, ι
, q
vérifiant les
analogues de (i), (ii), (iv), (v), et tels que Z(H
) soit connexe et soit un tore induit.
Comme on l’a dit en [I] 1.9, l’ensemble Z( ˜
G) s’identifie à celui des e ∈ ˜
G tels que
ad e soit l’identité. Fixons un élément e ∈ Z( ˜
G). Il y a un cocycle z : Γ F → Z(G) tel
que σ(e) = z(σ)
−1 e pour tout σ ∈ Γ F . Puisque Z(H
) est induit, le cocycle ι◦ z est
un bord. On peut fixer e H ∈ Z(H
) tel que σ(e H ) = ι◦z(σ)
−1 e H pour tout σ. On
pose d
= q
(e H ). On définit ˜ ι
: ˜
G → H
d par ˜ ι
(ge) = ι
(g)e H . On voit que toutes
nos conditions sont vérifiées, sauf éventuellement la huitième. Appliquons le lemme
du paragraphe précédent au tore D
et au groupe U engendré par q
(Z(H
; F ))
et d
. On obtient un tore que nous notons D et un homomorphisme f : D → D
.
Notons H le produit fibré de H
et D au-dessus de D
. C’est-à-dire que H( ¯
F ) est
le groupe des (x, y) ∈ H
( ¯
F ) × D( ¯
F ) tels que q
(x) = f (y). On note ι : G → H le
plongement g → (ι
(g), 1) et q : H → D la projection (x, y) → y. La suite
1 → G
ι
→ H
q
→ D → 1
est exacte. Cela prouve que H est connexe. On sait qu’il existe d ∈ D(F ) tel que
f (d) = d
. On fixe un tel d et on définit ˜ ι : ˜
G → H d par ˜ ι(γ) = (˜ ι
(γ), d). Les sept
premières propriétés de l’énoncé sont vérifiées. Le groupe Z(H) est le produit fibré
de Z(H
) et de D au-dessus de D
. Remarquons que d appartient à q(H(F )) : on
a d = q ◦ ˜ ι(γ) pour tout γ ∈ ˜
G(F ). Soit y ∈ D(F ). On a f (y) ∈ U . On peut donc
écrire f (y) = q
(z
)(d
)
n , avec z
∈ Z(H
; F ) et n ∈ Z. Posons y 1 = yd
−n . Alors