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Chapitre III. Réductions et preuves
On note V m le sous-groupe de S(F ) engendré par S(F )
(N ) et par ϕ m (d). En
appliquant le résultat du cas n = 1, on choisit un tore S m défini sur F et un
homomorphisme g m : S m → S défini sur F de sorte que g m (S m (F )) = V m et que
le noyau de g m soit connexe. En posant S M =
m∈M S m et S
m =
m∈M S, les
homomorphismes g m se regroupent en un homomorphisme g M : S M → S
M . Son
noyau est connexe et on a l’égalité g M (S M (F )) =
m∈M V m . D’autre part, les
homomorphismes ϕ m se regroupent en un homomorphisme ϕ M : D = S
n
→ S
M .
C’est une immersion fermée : quand m décrit les éléments de base de Z
n , les
applications ϕ m décrivent les applications coordonnées naturelles sur S
n . Notons
D
le produit fibré de D et S M au-dessus de S
M . Autrement dit D
( ¯
F ) est le
groupe des (x, y) ∈ D( ¯
F ) × S M ( ¯
F ) tels que ϕ M (x) = g M (y). Parce que ϕ M est
une immersion fermée et que le noyau de g M est connexe, D
est connexe. C’est
donc un tore, qui est évidemment défini sur F . On note g : D
→ D la projection
(x, y) → x. Cet homomorphisme est défini sur F . Son noyau est celui de g M ,
donc est connexe. Le groupe g(D
(F )) est celui des x ∈ D(F ) tels que, pour tout
m ∈ M , ϕ m (x) appartienne à g m (S m (F )), autrement dit à V m . En appliquant le
lemme du paragraphe précédent au groupe X = S(F )/S(F )
(N ) , on obtient que
g(D
(F )) = V . Cela prouve (2).
La propriété (2) s’étend de la façon suivante. Soit V un sous-groupe de D(F )
contenant D(F )
(N ) . Alors
(3) il existe un tore D
défini sur F et un homomorphisme g : D
→ D défini sur
F de sorte que g(D
(F )) = V et que le noyau de g soit connexe.
Le groupe V est engendré par D(F )
(N ) et un ensemble fini d’éléments d 1 ,
. . . , d k . On peut supposer k ≥ 1, quitte à prendre d 1 = 1. Si k = 1, on applique
l’assertion (2). Si k ≥ 2, on note V 1 , resp. V 2 , le sous-groupe de D(F ) engendré
par D(F )
(N ) et les éléments d 1 , . . . , d k−1 , resp. d k . En raisonnant par récurrence,
on choisit D
1 et g 1 , resp. D
2 et g
2 , vérifiant (3) pour le groupe V 1 , resp. V 2 . On
pose D
= D
1 × D
2 et on prend pour g le produit de g 1 et g 2 . Il est clair que D et
g sont définis sur F et que g(D(F )) = V . Le noyau de g est fibré au-dessus de D
1 ,
de fibres isomorphes au noyau de g 2 . Donc ce noyau est connexe. Cela prouve (3).
Appliquons (3) au groupe V = D(F )
(N ) ι(U ). On en déduit un tore D
et un
homomorphisme g. Soit T
le produit fibré de T et D
au-dessus de D. C’est-à-dire
que T
( ¯
F ) est le groupe des (t, d
) ∈ T ( ¯
F ) × D
( ¯
F ) tels que ι(t) = g(d
). Notons
f : T
→ T la projection (t, d
) → t. Cette projection est surjective et son noyau est
isomorphe à celui de g, donc est connexe. Donc le groupe T
est lui-même connexe
et c’est un tore. Il est clair que T et f sont définis sur F . L’image f (T
(F )) est
le sous-groupe des t ∈ T (F ) tels que ι(t) appartienne à g(D
(F )), autrement dit
à D(F )
(N ) ι(U ). En appliquant (1), on obtient que f (T
(F )) = U . Cela achève la
démonstration.
Chapitre III. Réductions et preuves
On note V m le sous-groupe de S(F ) engendré par S(F )
(N ) et par ϕ m (d). En
appliquant le résultat du cas n = 1, on choisit un tore S m défini sur F et un
homomorphisme g m : S m → S défini sur F de sorte que g m (S m (F )) = V m et que
le noyau de g m soit connexe. En posant S M =
m∈M S m et S
m =
m∈M S, les
homomorphismes g m se regroupent en un homomorphisme g M : S M → S
M . Son
noyau est connexe et on a l’égalité g M (S M (F )) =
m∈M V m . D’autre part, les
homomorphismes ϕ m se regroupent en un homomorphisme ϕ M : D = S
n
→ S
M .
C’est une immersion fermée : quand m décrit les éléments de base de Z
n , les
applications ϕ m décrivent les applications coordonnées naturelles sur S
n . Notons
D
le produit fibré de D et S M au-dessus de S
M . Autrement dit D
( ¯
F ) est le
groupe des (x, y) ∈ D( ¯
F ) × S M ( ¯
F ) tels que ϕ M (x) = g M (y). Parce que ϕ M est
une immersion fermée et que le noyau de g M est connexe, D
est connexe. C’est
donc un tore, qui est évidemment défini sur F . On note g : D
→ D la projection
(x, y) → x. Cet homomorphisme est défini sur F . Son noyau est celui de g M ,
donc est connexe. Le groupe g(D
(F )) est celui des x ∈ D(F ) tels que, pour tout
m ∈ M , ϕ m (x) appartienne à g m (S m (F )), autrement dit à V m . En appliquant le
lemme du paragraphe précédent au groupe X = S(F )/S(F )
(N ) , on obtient que
g(D
(F )) = V . Cela prouve (2).
La propriété (2) s’étend de la façon suivante. Soit V un sous-groupe de D(F )
contenant D(F )
(N ) . Alors
(3) il existe un tore D
défini sur F et un homomorphisme g : D
→ D défini sur
F de sorte que g(D
(F )) = V et que le noyau de g soit connexe.
Le groupe V est engendré par D(F )
(N ) et un ensemble fini d’éléments d 1 ,
. . . , d k . On peut supposer k ≥ 1, quitte à prendre d 1 = 1. Si k = 1, on applique
l’assertion (2). Si k ≥ 2, on note V 1 , resp. V 2 , le sous-groupe de D(F ) engendré
par D(F )
(N ) et les éléments d 1 , . . . , d k−1 , resp. d k . En raisonnant par récurrence,
on choisit D
1 et g 1 , resp. D
2 et g
2 , vérifiant (3) pour le groupe V 1 , resp. V 2 . On
pose D
= D
1 × D
2 et on prend pour g le produit de g 1 et g 2 . Il est clair que D et
g sont définis sur F et que g(D(F )) = V . Le noyau de g est fibré au-dessus de D
1 ,
de fibres isomorphes au noyau de g 2 . Donc ce noyau est connexe. Cela prouve (3).
Appliquons (3) au groupe V = D(F )
(N ) ι(U ). On en déduit un tore D
et un
homomorphisme g. Soit T
le produit fibré de T et D
au-dessus de D. C’est-à-dire
que T
( ¯
F ) est le groupe des (t, d
) ∈ T ( ¯
F ) × D
( ¯
F ) tels que ι(t) = g(d
). Notons
f : T
→ T la projection (t, d
) → t. Cette projection est surjective et son noyau est
isomorphe à celui de g, donc est connexe. Donc le groupe T
est lui-même connexe
et c’est un tore. Il est clair que T et f sont définis sur F . L’image f (T
(F )) est
le sous-groupe des t ∈ T (F ) tels que ι(t) appartienne à g(D
(F )), autrement dit
à D(F )
(N ) ι(U ). En appliquant (1), on obtient que f (T
(F )) = U . Cela achève la
démonstration.