III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
323
Pour tout groupe abélien Y , notons Y
(N ) le groupe des puissances N -ièmes dans
Y . Montrons que
(1) il existe N tel que D(F )
(N )
∩ ι(T (F )) ⊂ ι(U ).
Introduisons le sous-groupe compact maximal D(F ) c de D(F ). Les sousgroupes (D(F ) c )
N forment un système de voisinages ouverts de l’origine dans
D(F ). Le plongement ι : T (F ) → D(F ) est une immersion fermée. Puisque U est
ouvert dans T (F ), il existe un entier N 1 ≥ 1 tel que (D(F ) c )
N1
∩ ι(T (F )) ⊂ ι(U ).
On a une suite exacte
1 → D(F ) c → D(F )
π
→ Z
n
→ 0
Posons L T = π ◦ ι(T (F )), L U = π ◦ ι(U ) et L 0 = Z
n
∩ (L T ⊗ Z Q). Le groupe L U est
d’indice fini dans L T par hypothèse et L T est d’indice fini dans L 0 . Soit N 2 ≥ 1
tel que N 2 L 0 ⊂ L U . Soit N = N 1 N 2 et soit d ∈ D(F ) tel que d
N
∈ ι(T (F )).
Alors N π(d) ∈ L T ⊂ L 0 . Le groupe Z
n /L 0 est sans torsion. Donc π(d) ∈ L 0 puis
N 2 π(d) ∈ L U . On peut donc trouver u ∈ U et d c ∈ D(F ) c tels que d
N2 = ι(u)d c .
On a d
N1
c = d
N ι(u)
−N1 . Ceci appartient à ι(T (F )), donc à (D(F ) c )
N1
∩ ι(T (F )),
donc à ι(U ). Posons d
N1
c
= ι(v), avec v ∈ U . Alors d
N = ι(u
N1 v) appartient à
ι(U ). Cela démontre (1).
Fixons N vérifiant (1). Si N = 1, on a U = T (F ) et le lemme est évident
(on prend T
= T et f l’identité). Supposons N > 1. Soit d ∈ D(F ), notons V le
sous-groupe de D(F ) engendré par d et D(F )
(N ) . Montrons que
(2) il existe un tore D
défini sur F et un homomorphisme g : D
→ D défini sur
F de sorte que g(D
(F )) = V et que le noyau de g soit connexe.
On identifie D à S
n . Si n = 1, V est un sous-groupe ouvert d’indice fini
de S(F ) = E
× . On sait qu’il existe une extension finie E
de E telle que, en
notant N E /E la norme, V soit égal au groupe des normes N E /E (E
× ) ([72]
XIV.6 théorème 1). On pose S
= Res E /F (GL(1) E ). On construit facilement
un homomorphisme g : S
→ S défini sur F dont l’homomorphisme déduit de
S
(F ) = E
× dans S(F ) = E
× soit la norme N E /E . Avec la description donnée
plus haut de X ∗ (S) et la description similaire de X ∗ (S
), pour φ
∈ X ∗ (S
), on a
g ◦ φ
(σ) =
γ∈Γ E \ΓE φ
(γσ) pour tout σ ∈ Γ F . Il en résulte que l’on a une suite
exacte
0 → Y → X ∗ (S
) → X ∗ (S) → 0,
où Y est un Z-module libre. Le noyau de g est donc connexe. Alors le tore D
= S
et cet homomorphisme g conviennent.
Supposons maintenant n > 1. On choisit un sous-ensemble M ⊂ Z
n qui
s’envoie bijectivement sur Z
n /(N Z)
n . On suppose que M contient les éléments
de base de Z
n , c’est-à-dire les éléments qui ont une coordonnée égale à 1 et dont
les autres coordonnées sont nulles. Pour tout m = (m 1 , . . . , m n ) ∈ M , on définit
l’homomorphisme
ϕ m :
D = S
n
→
S
(x 1 , . . . , x n ) →
i=1,...,n x
mi
i
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Pour tout groupe abélien Y , notons Y
(N ) le groupe des puissances N -ièmes dans
Y . Montrons que
(1) il existe N tel que D(F )
(N )
∩ ι(T (F )) ⊂ ι(U ).
Introduisons le sous-groupe compact maximal D(F ) c de D(F ). Les sousgroupes (D(F ) c )
N forment un système de voisinages ouverts de l’origine dans
D(F ). Le plongement ι : T (F ) → D(F ) est une immersion fermée. Puisque U est
ouvert dans T (F ), il existe un entier N 1 ≥ 1 tel que (D(F ) c )
N1
∩ ι(T (F )) ⊂ ι(U ).
On a une suite exacte
1 → D(F ) c → D(F )
π
→ Z
n
→ 0
Posons L T = π ◦ ι(T (F )), L U = π ◦ ι(U ) et L 0 = Z
n
∩ (L T ⊗ Z Q). Le groupe L U est
d’indice fini dans L T par hypothèse et L T est d’indice fini dans L 0 . Soit N 2 ≥ 1
tel que N 2 L 0 ⊂ L U . Soit N = N 1 N 2 et soit d ∈ D(F ) tel que d
N
∈ ι(T (F )).
Alors N π(d) ∈ L T ⊂ L 0 . Le groupe Z
n /L 0 est sans torsion. Donc π(d) ∈ L 0 puis
N 2 π(d) ∈ L U . On peut donc trouver u ∈ U et d c ∈ D(F ) c tels que d
N2 = ι(u)d c .
On a d
N1
c = d
N ι(u)
−N1 . Ceci appartient à ι(T (F )), donc à (D(F ) c )
N1
∩ ι(T (F )),
donc à ι(U ). Posons d
N1
c
= ι(v), avec v ∈ U . Alors d
N = ι(u
N1 v) appartient à
ι(U ). Cela démontre (1).
Fixons N vérifiant (1). Si N = 1, on a U = T (F ) et le lemme est évident
(on prend T
= T et f l’identité). Supposons N > 1. Soit d ∈ D(F ), notons V le
sous-groupe de D(F ) engendré par d et D(F )
(N ) . Montrons que
(2) il existe un tore D
défini sur F et un homomorphisme g : D
→ D défini sur
F de sorte que g(D
(F )) = V et que le noyau de g soit connexe.
On identifie D à S
n . Si n = 1, V est un sous-groupe ouvert d’indice fini
de S(F ) = E
× . On sait qu’il existe une extension finie E
de E telle que, en
notant N E /E la norme, V soit égal au groupe des normes N E /E (E
× ) ([72]
XIV.6 théorème 1). On pose S
= Res E /F (GL(1) E ). On construit facilement
un homomorphisme g : S
→ S défini sur F dont l’homomorphisme déduit de
S
(F ) = E
× dans S(F ) = E
× soit la norme N E /E . Avec la description donnée
plus haut de X ∗ (S) et la description similaire de X ∗ (S
), pour φ
∈ X ∗ (S
), on a
g ◦ φ
(σ) =
γ∈Γ E \ΓE φ
(γσ) pour tout σ ∈ Γ F . Il en résulte que l’on a une suite
exacte
0 → Y → X ∗ (S
) → X ∗ (S) → 0,
où Y est un Z-module libre. Le noyau de g est donc connexe. Alors le tore D
= S
et cet homomorphisme g conviennent.
Supposons maintenant n > 1. On choisit un sous-ensemble M ⊂ Z
n qui
s’envoie bijectivement sur Z
n /(N Z)
n . On suppose que M contient les éléments
de base de Z
n , c’est-à-dire les éléments qui ont une coordonnée égale à 1 et dont
les autres coordonnées sont nulles. Pour tout m = (m 1 , . . . , m n ) ∈ M , on définit
l’homomorphisme
ϕ m :
D = S
n
→
S
(x 1 , . . . , x n ) →
i=1,...,n x
mi
i