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Chapitre III. Réductions et preuves
appartienne au sous-groupe de X engendré par x 1 . On a h ≤ a n et une égalité
p
h x n + p
h
ux 1 = 0, où u ∈ Z est premier à p et h
= h + a 1 − a n . Posons
z = x n + p
a1−an ux 1 . On vérifie que l’application
Z/p
a1
Z ⊕ Z/p
h
Z →
X
(e, f )
→ ex 1 + f z
est injective. Appliquons l’hypothèse à m = (m, 0, . . . , 0, 1). On obtient que rx n
appartient au groupe engendré par mx 1 + x n . Autrement dit r(z − p
a1−an ux 1 )
appartient au groupe engendré par z + (m − p
a1−an u)x 1 . Posons m = p
a1−an u.
Alors r(z − p
a1−an ux 1 ) appartient au groupe engendré par z. D’après l’injectivité
précédente, p
a1 doit diviser rup
a1−an . Donc p
an divise r. D’où y n = rx n = 0.
III.2.2 Un lemme sur les tores
Dans ce paragraphe et les trois suivants, on lève l’hypothèse que F est nonarchimédien. Le corps F est un corps local de caractéristique nulle.
Lemme. Soient T un tore défini sur F et U ⊂ T (F ) un sous-groupe ouvert d’indice
fini. Alors il existe un tore T
défini sur F et un homomorphisme f : T
→ T défini
sur F de sorte que f (T
(F )) = U .
Preuve dans le cas où F est archimédien. Si F = C, T (C) est connexe. Donc U =
T (C). Le tore T
= T et l’homomorphisme identité conviennent. Supposons F = R.
Introduisons les trois tores T 1 , T 2 et T 3 sur R tels que T 1 (R) = R
× , T 2 (R) = C
× ,
T 3 (R) = {z ∈ C; z ¯
z = 1}. On sait que T est isomorphe à un produit de tels
tores, disons T = T
a
1 × T
b
2 × T
c
3 . Le sous-groupe U est nécessairement de la forme
U 1 × T 2 (R)
b
× T 3 (R)
c , où U 1 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de T 1 (R)
a . Si
on trouve T
1 et f 1 résolvant le problème pour le tore T
a
1 et le sous-groupe U 1 , on
pose T
= T
1 × T
b
2 × T
c
3 , on étend f 1 en f par l’identité sur les autres composantes.
Cela résout le problème initial. On est ainsi ramené au cas où T = T
a
1 . Quitte à
appliquer un automorphisme de T , on peut supposer qu’il existe un entier e avec
0 ≤ e ≤ a de sorte que U = (R
×
+ )
e
× (R
× )
a−e . On pose T
= T
e
2 × T
a−e
1
, on définit
f comme étant la norme sur les e-premières composantes et l’identité sur les a − e
dernières. Cela résout le problème.
Preuve dans le cas où F est non-archimédien. On fixe une extension finie E de F
tel que Γ E agisse trivialement sur X ∗ (T ).
On introduit le tore S = Res E/F (GL(1) E ). Le groupe X ∗ (S) est le groupe
des fonctions φ : Γ E \Γ F → Z, muni de l’action de Γ F par translations à droite.
On a S(F ) = E
× . On introduit le tore D tel que X ∗ (D) soit X ∗ (S) ⊗ Z X ∗ (T ),
c’est-à-dire le groupe des fonctions φ : Γ E \Γ F → X ∗ (T ), muni de l’action de Γ F
par translations à droite. On a D S
n , où n est la dimension de T . On a un
plongement ι : T → D ainsi défini : pour x ∗ ∈ X ∗ (T ), ι ◦ x ∗ est l’élément φ de
X ∗ (D) tel que φ(σ) = σ(x ∗ ). Ce plongement est défini sur F . Soit N ≥ 1 un entier.
Chapitre III. Réductions et preuves
appartienne au sous-groupe de X engendré par x 1 . On a h ≤ a n et une égalité
p
h x n + p
h
ux 1 = 0, où u ∈ Z est premier à p et h
= h + a 1 − a n . Posons
z = x n + p
a1−an ux 1 . On vérifie que l’application
Z/p
a1
Z ⊕ Z/p
h
Z →
X
(e, f )
→ ex 1 + f z
est injective. Appliquons l’hypothèse à m = (m, 0, . . . , 0, 1). On obtient que rx n
appartient au groupe engendré par mx 1 + x n . Autrement dit r(z − p
a1−an ux 1 )
appartient au groupe engendré par z + (m − p
a1−an u)x 1 . Posons m = p
a1−an u.
Alors r(z − p
a1−an ux 1 ) appartient au groupe engendré par z. D’après l’injectivité
précédente, p
a1 doit diviser rup
a1−an . Donc p
an divise r. D’où y n = rx n = 0.
III.2.2 Un lemme sur les tores
Dans ce paragraphe et les trois suivants, on lève l’hypothèse que F est nonarchimédien. Le corps F est un corps local de caractéristique nulle.
Lemme. Soient T un tore défini sur F et U ⊂ T (F ) un sous-groupe ouvert d’indice
fini. Alors il existe un tore T
défini sur F et un homomorphisme f : T
→ T défini
sur F de sorte que f (T
(F )) = U .
Preuve dans le cas où F est archimédien. Si F = C, T (C) est connexe. Donc U =
T (C). Le tore T
= T et l’homomorphisme identité conviennent. Supposons F = R.
Introduisons les trois tores T 1 , T 2 et T 3 sur R tels que T 1 (R) = R
× , T 2 (R) = C
× ,
T 3 (R) = {z ∈ C; z ¯
z = 1}. On sait que T est isomorphe à un produit de tels
tores, disons T = T
a
1 × T
b
2 × T
c
3 . Le sous-groupe U est nécessairement de la forme
U 1 × T 2 (R)
b
× T 3 (R)
c , où U 1 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de T 1 (R)
a . Si
on trouve T
1 et f 1 résolvant le problème pour le tore T
a
1 et le sous-groupe U 1 , on
pose T
= T
1 × T
b
2 × T
c
3 , on étend f 1 en f par l’identité sur les autres composantes.
Cela résout le problème initial. On est ainsi ramené au cas où T = T
a
1 . Quitte à
appliquer un automorphisme de T , on peut supposer qu’il existe un entier e avec
0 ≤ e ≤ a de sorte que U = (R
×
+ )
e
× (R
× )
a−e . On pose T
= T
e
2 × T
a−e
1
, on définit
f comme étant la norme sur les e-premières composantes et l’identité sur les a − e
dernières. Cela résout le problème.
Preuve dans le cas où F est non-archimédien. On fixe une extension finie E de F
tel que Γ E agisse trivialement sur X ∗ (T ).
On introduit le tore S = Res E/F (GL(1) E ). Le groupe X ∗ (S) est le groupe
des fonctions φ : Γ E \Γ F → Z, muni de l’action de Γ F par translations à droite.
On a S(F ) = E
× . On introduit le tore D tel que X ∗ (D) soit X ∗ (S) ⊗ Z X ∗ (T ),
c’est-à-dire le groupe des fonctions φ : Γ E \Γ F → X ∗ (T ), muni de l’action de Γ F
par translations à droite. On a D S
n , où n est la dimension de T . On a un
plongement ι : T → D ainsi défini : pour x ∗ ∈ X ∗ (T ), ι ◦ x ∗ est l’élément φ de
X ∗ (D) tel que φ(σ) = σ(x ∗ ). Ce plongement est défini sur F . Soit N ≥ 1 un entier.