III.2. Cas quasi-déployé et à torsion intérieure
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III.2 Premiers résultats dans le cas quasi-déployé
et à torsion intérieure
III.2.1 Un lemme sur les groupes abéliens finis
Soient X un groupe abélien fini et n un entier supérieur ou égal à 1. Tout élément
m = (m 1 , . . . , m n ) ∈ Z
n détermine un homomorphisme
ϕ m :
X
n
→
X
x = (x 1 , . . . , x n ) →
i=1,...,n m i x i
Evidemment, cet homomorphisme ne dépend que de l’image de m dans (Z/N Z)
n ,
où N est l’exposant de X (c’est-à-dire le plus petit entier supérieur ou égal à 1
qui annule X).
Lemme. Soit x, y ∈ X
n . Alors y appartient au sous-groupe de X
n engendré par
x si et seulement si, pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y) appartient au sous-groupe de X
engendré par ϕ m (x).
Preuve. Dans un sens, c’est évident : si y = rx, avec r ∈ Z, alors ϕ m (y) = rϕ m (x)
pour tout m. Supposons inversement que, pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y) appartient au
sous-groupe de X engendré par ϕ m (x). Décomposons X en somme directe ⊕ p∈P X p
où P est un ensemble fini de nombres premiers et X p est un p-groupe pour tout
p ∈ P . On décompose conformément tout z ∈ X en z =
p∈P z p . Le sous-groupe
de X engendré par z est l’ensemble des z
=
p∈P z
p tels que, pour tout p ∈ P , z
p
appartienne au sous-groupe de X p engendré par z p . La même propriété s’applique à
X
n = ⊕ p∈P X
n
p . Donc, pour tout p ∈ P et pour tout m ∈ Z
n , (ϕ m (y)) p appartient
au sous-groupe de X p engendré par (ϕ m (x)) p . Pour tout z ∈ X
n , on a (ϕ m (z)) p =
ϕ m (z p ). Donc, pour tout p ∈ P et pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y p ) appartient au sousgroupe de X p engendré par ϕ m (x p ). Supposons le lemme démontré pour chaque
X p . Alors la propriété précédente entraîne que, pour tout p ∈ P , y p appartient au
sous-groupe de X
n
p engendré par x p . D’où la conclusion.
On est ainsi ramené au cas où X est un p-groupe pour un certain nombre
premier p. Ecrivons x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ). Pour tout i = 1, . . . , n,
notons a i ∈ N le plus petit entier tel que p
ai x i = 0. A permutation près, on peut
supposer a 1 ≥ · · · ≥ a n . L’assertion à prouver étant évidente dans le cas n = 1,
on suppose n ≥ 2. On pose x
= (x 1 , . . . , x n−1 ), y
= (y 1 , . . . , y n−1 ). Ces elements
vérifient la même hypothèse que x et y, mais pour n − 1. En raisonnant par
récurrence, on peut supposer qu’il existe r ∈ Z tel que y
= rx
. Alors l’élément
(0, . . . , 0, y n − rx n ) = y − rx vérifie la même hypothèse que y. On va montrer
qu’il est nul. En oubliant cette construction, on suppose simplement que y =
(0, . . . , 0, y n ) et on va prouver que y n = 0. En appliquant l’hypothèse à m =
(0, . . . , 0, 1), on voit qu’il existe r ∈ Z tel que y n = rx n . D’où la conclusion
si x n = 0. On suppose x n = 0. Soit h ∈ N le plus petit entier tel que p
h x n
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III.2 Premiers résultats dans le cas quasi-déployé
et à torsion intérieure
III.2.1 Un lemme sur les groupes abéliens finis
Soient X un groupe abélien fini et n un entier supérieur ou égal à 1. Tout élément
m = (m 1 , . . . , m n ) ∈ Z
n détermine un homomorphisme
ϕ m :
X
n
→
X
x = (x 1 , . . . , x n ) →
i=1,...,n m i x i
Evidemment, cet homomorphisme ne dépend que de l’image de m dans (Z/N Z)
n ,
où N est l’exposant de X (c’est-à-dire le plus petit entier supérieur ou égal à 1
qui annule X).
Lemme. Soit x, y ∈ X
n . Alors y appartient au sous-groupe de X
n engendré par
x si et seulement si, pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y) appartient au sous-groupe de X
engendré par ϕ m (x).
Preuve. Dans un sens, c’est évident : si y = rx, avec r ∈ Z, alors ϕ m (y) = rϕ m (x)
pour tout m. Supposons inversement que, pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y) appartient au
sous-groupe de X engendré par ϕ m (x). Décomposons X en somme directe ⊕ p∈P X p
où P est un ensemble fini de nombres premiers et X p est un p-groupe pour tout
p ∈ P . On décompose conformément tout z ∈ X en z =
p∈P z p . Le sous-groupe
de X engendré par z est l’ensemble des z
=
p∈P z
p tels que, pour tout p ∈ P , z
p
appartienne au sous-groupe de X p engendré par z p . La même propriété s’applique à
X
n = ⊕ p∈P X
n
p . Donc, pour tout p ∈ P et pour tout m ∈ Z
n , (ϕ m (y)) p appartient
au sous-groupe de X p engendré par (ϕ m (x)) p . Pour tout z ∈ X
n , on a (ϕ m (z)) p =
ϕ m (z p ). Donc, pour tout p ∈ P et pour tout m ∈ Z
n , ϕ m (y p ) appartient au sousgroupe de X p engendré par ϕ m (x p ). Supposons le lemme démontré pour chaque
X p . Alors la propriété précédente entraîne que, pour tout p ∈ P , y p appartient au
sous-groupe de X
n
p engendré par x p . D’où la conclusion.
On est ainsi ramené au cas où X est un p-groupe pour un certain nombre
premier p. Ecrivons x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ). Pour tout i = 1, . . . , n,
notons a i ∈ N le plus petit entier tel que p
ai x i = 0. A permutation près, on peut
supposer a 1 ≥ · · · ≥ a n . L’assertion à prouver étant évidente dans le cas n = 1,
on suppose n ≥ 2. On pose x
= (x 1 , . . . , x n−1 ), y
= (y 1 , . . . , y n−1 ). Ces elements
vérifient la même hypothèse que x et y, mais pour n − 1. En raisonnant par
récurrence, on peut supposer qu’il existe r ∈ Z tel que y
= rx
. Alors l’élément
(0, . . . , 0, y n − rx n ) = y − rx vérifie la même hypothèse que y. On va montrer
qu’il est nul. En oubliant cette construction, on suppose simplement que y =
(0, . . . , 0, y n ) et on va prouver que y n = 0. En appliquant l’hypothèse à m =
(0, . . . , 0, 1), on voit qu’il existe r ∈ Z tel que y n = rx n . D’où la conclusion
si x n = 0. On suppose x n = 0. Soit h ∈ N le plus petit entier tel que p
h x n