320
Chapitre III. Réductions et preuves
D’où
X
G
J = [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1
횿
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i M (G J , (G J )
(s))
J ∈J
(G J ) (s)
M
(B);J →J
σ
(GJ )
(s)
J
(δ
, ξ(a))
=
s∈ζZ( ˆ
M) Γ F /Z( ˆ
GJ ) Γ F
i M (G J , (G J )
(s))
J
∈J
(G J ) (s)
M
(B);
J
→J
σ
(GJ )
(s)
J
(δ
, ξ(a)) = X
GJ
J .
Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Posons γ = transfert(δ). Pour tout a ∈ A M (F ), on a aγ = transfert(ξ(a)δ).
Soit f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Utilisons les développements [II] 3.3 de I
G
M (aγ, f )
et [II] 3.9 de I
G,E
M (aγ, f ) = I
G,E
M (M
, ξ(a)δ, f ). On obtient que
(4)
I
G
M (aγ, f ) − I
G,E
M (aγ, f )
est équivalent à
L∈L(M)
J∈J L
M (B)
I
G
L (ρ
L
J (γ, a)
L , B, f ) − I
G,E
L (ρ
L,E
J (M
, δ, a)
L , B, f ).
On sait d’après 1.1 que l’expression (4) est nulle. En raisonnant par récurrence
et en utilisant le (i) de l’énoncé, on connaît l’assertion (ii) pour tout J sauf pour
le terme maximal J max de J
G
M (B). On sait aussi que les intégrales orbitales I
G,E
L
coïncident avec I
G
L si L = M . L’expression ci-dessus se simplifie et on obtient que
l’expression
I
G (ρ
G
Jmax (γ, a)
G
− ρ
G,E
Jmax (M
, δ, a)
G , f ) + I
G
M (γ, B, f ) − I
G,E
M (γ, B, f )
est nulle. La propriété [II] 3.1(3) entraîne de nouveau la nullité de ces deux termes.
La nullité du premier achève de prouver l’assertion (ii) de l’énoncé. La nullité du
second démontre l’assertion (iii) pour notre distribution γ. Mais tout élément de
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ est combinaison linéaire de transferts de δ comme
ci-dessus, quand on fait varier la donnée M
. Il s’ensuit que l’assertion (iii) est
vérifiée pour tout γ ∈ D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
III.1.5 Germes endoscopiques
Soit M un Levi de G.
Corollaire. Pour tout γ ∈ D g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez proche de 1, on a
l’égalité
g
G
M,unip (γ, B) = g
G,E
M,unip (γ, B).
Comme en 1.3, cela se déduit de la proposition précédente en utilisant le lemme
[II] 2.8.