III.1. Le cas des groupes non tordus
319
cf. [II] 3.8. Comme on l’a dit en [II] 3.6, il y a un isomorphisme
ι : D
st
unip (M
(F )) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
unip (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
qui dépend du choix de données auxiliaires mais n’en dépend que par multiplication
par un scalaire. On a l’égalité
σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) = ι(σ
G
(s)
J
(ι
−1 (δ), ξ(a)))
pour tout s apparaissant ci-dessus. En posant δ
= ι
−1 (δ), la formule ci-dessus
devient
ρ
G,E
J (M
, δ, a) = transfert ◦ι(X
G
J ),
où
(1)
X
G
J =
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
σ
G
(s)
J
(δ
, ξ(a)).
Plus exactement, ce qui nous importe est la projection de ce terme modulo le sousespace Ann
⊂ D
st
unip (M
(F )) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ formé des éléments dont l’image par
transfert ◦ι appartient à Ann
G
unip . En vertu des formules ci-dessus, il suffit pour
prouver (i) de montrer que, modulo cet espace Ann
, X
G
J coïncide avec X
GJ
J . La
preuve est alors similaire à celle de 1.2.
Un élément s ∈ ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF détermine à la fois un groupe endoscopique G
(s) de G et un groupe endoscopique (G J )
(s) de G J . Les propriétés similaires à 1.2(3) et (4) sont vérifiées :
(2) les ensembles (réduits à au plus un élément) {J
∈ J
G
(s)
M
(B); J
→ J} et
{J
∈ J
(GJ )
(s)
M
(B); J
→ J} coïncident ;
(3) s’ils ne sont pas vides, notons J
leur seul élément ; alors G
(s) J = (G J )
(s).
En utilisant ces propriétés et en appliquant la proposition 1.2(i) aux termes
du membre de droite de (1), on transforme (1) en
X
G
J =
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i M (G, G
(s))
J ∈J
(G J ) (s)
M
(B);J →J
i
G
(s)
J
σ
(GJ )
(s)
J
(δ
, ξ(a))
du moins modulo Ann
. De nouveau, on calcule
i M (G, G
(s))i
G
(s)
J
= [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 i M (G J , (G J )
(s)).