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Chapitre III. Réductions et preuves
III.1.3 Germes stables
On suppose G quasi-déployé. Soit M un Levi de G.
Corollaire. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez proche de 1,
le terme Sg
G
M,unip (δ, B) appartient à D
st
unip (G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Preuve. On applique le lemme [II] 2.9, en prenant pour D
st l’espace
D
st
g´ eom,G -équi (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
tout entier. L’hypothèse de ce lemme est vérifiée d’après 1.1. Le (i) du lemme l’est
aussi d’après le (iii) de la proposition précédente. Donc le (ii) aussi, ce qui est
l’assertion de l’énoncé.
III.1.4 Intégrales orbitales pondérées endoscopiques
Le groupe G est quelconque. Soient M un Levi de G et M
= (M
, M
, ζ) une
donnée endoscopique de M , elliptique et relevante. Pour J ∈ J
G
M (B), on a défini
en [II] 3.8 un homomorphisme
ρ
G,E
J (M
) : D
st
unip (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
Proposition.
(i) Pour tout J ∈ J
G
M (B), ρ
G,E
J (M
) est le composé de ρ
GJ ,E
J
(M
) et de la projection
U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
(ii) Pour tout J ∈ J
G
M (B), tout δ ∈ D
st
unip (M
)⊗Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A M (F )
en position générale et assez proche de 1, on a l’égalité
ρ
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
G
J (transfert(δ), a).
(iii) Pour tout γ ∈ D unip (M (F ))⊗Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ I(G(F ))⊗Mes(G(F )),
on a l’égalité
I
G,E
M (γ, B, f ) = I
G
M (γ, B, f ).
Preuve. Rappelons la définition, pour δ ∈ D
st
unip (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et a ∈
A M (F ) en position générale et proche de 1 :
ρ
G,E
J (M
, δ, a)
=
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))),