III.1. Le cas des groupes non tordus
317
Alors (2) se récrit
ρ
GJ
J,st = x + [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
J∈J
(G J ) (s)
M
(B)
i M (G J , (G J )
(s))σ
(GJ )
(s)
J
ou encore, en changeant l’ensemble de sommation,
ρ
GJ
J,st = x +
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
GJ ) Γ F ,J∈J
(G J ) (s)
M
(B)
i M (G J , (G J )
(s))σ
(GJ )
(s)
J
.
En comparant avec l’égalité (1) appliquée au groupe G J , on obtient x = 0, ce qui
prouve le (i) de l’énoncé.
En raisonnant par récurrence, ce résultat implique (ii) pour tout J tel que
G J = G. C’est-à-dire pour tout J sauf l’unique élément maximal J max .
Rappelons le développement [II] 3.7. Soient δ ∈ D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Le germe en 1 de la fonction a → S
G
M (aδ, f ) est
équivalent à
J∈J G
M (B)
I
G (σ
G
J (δ, a)
G , f ) +
L∈L(M),L =G
J∈J L
M (B)
S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ).
Pour L = G et J ∈ J
L
M (B), on sait par récurrence que σ
L
J (δ, a)
L est stable. Si
de plus L = M , on sait que la distribution f → S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ) est stable.
Pour J ∈ J
G
M (B) non maximal, on sait que σ
G
J (δ, a)
G est stable. Supposons que
f soit «instable», c’est-à-dire que l’image de f dans SI(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) soit
nulle. Alors tous les termes du développement ci-dessus s’annulent, sauf deux :
ceux pour l’élément maximal J max de J
G
M (B) et pour l’élément J = ∅ de J
M
M (B)
(on peut les supposer distincts, sinon M = G et la proposition est tautologique).
Pour J = ∅, on a σ
M
∅ (δ, a) = δ. Le développement ci-dessus se réduit à
I
G (σ
G
Jmax (δ, a)
G , f ) + S
G
M (δ, B, f ).
Les résultats d’Arthur impliquent que S
G
M (aδ, f ) = 0, cf. 1.1. Donc la somme cidessus est équivalente à 0. Comme fonction de a, le premier terme appartient à
U Jmax et le second est constant. La propriété [II] 3.1(3) entraîne que les deux termes
sont nuls. La nullité du premier pour tout f instable signifie que σ
G
Jmax (δ, a)
G est
stable. En vertu du lemme [I] 5.13, cela achève de prouver (ii). La nullité du second
terme implique le (iii) de l’énoncé.
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Alors (2) se récrit
ρ
GJ
J,st = x + [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
J∈J
(G J ) (s)
M
(B)
i M (G J , (G J )
(s))σ
(GJ )
(s)
J
ou encore, en changeant l’ensemble de sommation,
ρ
GJ
J,st = x +
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
GJ ) Γ F ,J∈J
(G J ) (s)
M
(B)
i M (G J , (G J )
(s))σ
(GJ )
(s)
J
.
En comparant avec l’égalité (1) appliquée au groupe G J , on obtient x = 0, ce qui
prouve le (i) de l’énoncé.
En raisonnant par récurrence, ce résultat implique (ii) pour tout J tel que
G J = G. C’est-à-dire pour tout J sauf l’unique élément maximal J max .
Rappelons le développement [II] 3.7. Soient δ ∈ D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Le germe en 1 de la fonction a → S
G
M (aδ, f ) est
équivalent à
J∈J G
M (B)
I
G (σ
G
J (δ, a)
G , f ) +
L∈L(M),L =G
J∈J L
M (B)
S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ).
Pour L = G et J ∈ J
L
M (B), on sait par récurrence que σ
L
J (δ, a)
L est stable. Si
de plus L = M , on sait que la distribution f → S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ) est stable.
Pour J ∈ J
G
M (B) non maximal, on sait que σ
G
J (δ, a)
G est stable. Supposons que
f soit «instable», c’est-à-dire que l’image de f dans SI(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) soit
nulle. Alors tous les termes du développement ci-dessus s’annulent, sauf deux :
ceux pour l’élément maximal J max de J
G
M (B) et pour l’élément J = ∅ de J
M
M (B)
(on peut les supposer distincts, sinon M = G et la proposition est tautologique).
Pour J = ∅, on a σ
M
∅ (δ, a) = δ. Le développement ci-dessus se réduit à
I
G (σ
G
Jmax (δ, a)
G , f ) + S
G
M (δ, B, f ).
Les résultats d’Arthur impliquent que S
G
M (aδ, f ) = 0, cf. 1.1. Donc la somme cidessus est équivalente à 0. Comme fonction de a, le premier terme appartient à
U Jmax et le second est constant. La propriété [II] 3.1(3) entraîne que les deux termes
sont nuls. La nullité du premier pour tout f instable signifie que σ
G
Jmax (δ, a)
G est
stable. En vertu du lemme [I] 5.13, cela achève de prouver (ii). La nullité du second
terme implique le (iii) de l’énoncé.