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Chapitre III. Réductions et preuves
x = σ
G
J − i
G
J σ
GJ
J . Remarquons que le (i) de l’énoncé revient à prouver que x = 0.
L’égalité (1) devient
(2)
ρ
GJ
J,st = x +
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,J∈J
G (s)
M
(B)
i M (G, G
(s))i
G
(s)
J
σ
G
(s)J
J
.
On a une projection
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G J )
ΓF .
Un élément s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF détermine donc à la fois un groupe endoscopique
G
(s) de G et un groupe endoscopique (G J )
(s) de G J . Montrons que
(3) on a J ∈ J
G
(s)
M
(B) si et seulement si J ∈ J
(GJ )
(s)
M
(B) ;
(4) si J ∈ J
G
(s)
M
(B), on a l’égalité G
(s) J = (G J )
(s).
Rappelons que l’on a associé à J un réseau R J ⊂ a
∗
M de rang n = a M − a G ,
cf. [II] 3.1. Fixons une paire de Borel (B, T ) de G définie sur F telle que M soit
standard. On note α M la restriction à a M d’un élément α ∈ t
∗ . On a les égalités
Σ
G
(s) (T ) = {α ∈ Σ
G (T ); ˆ
α(s) = 1},
Σ
GJ (T ) = {α ∈ Σ
G (T ); B(α)
−1 α M ∈ R J },
Σ
(GJ )
(s) (T ) = {α ∈ Σ
G (T ); B(α)
−1 α M ∈ R J , ˆ
α(s) = 1}.
On a J ∈ J
G
(s)
M
(B) si et seulement si il existe α 1 , . . . , α n ∈ Σ
G
(s) (T ) telles que les
éléments B(α i )
−1 α i,M pour i = 1, . . . , n engendrent R J . Dans ce cas, ces éléments
α i appartiennent aussi à Σ
(GJ )
(s) (T ), donc J ∈ J
(GJ )
(s)
M
(B). La réciproque est
évidente. Si ces conditions sont vérifiées, les ensembles Σ
G
(s)J (T ) et Σ
(GJ )
(s) (T )
sont égaux : conserver les racines α telles que ˆ
α(s) = 1 et conserver les racines
α telles que B(α)
−1 α M ∈ R J sont des opérations qui commutent. Les actions
galoisiennes sont aussi les mêmes : ce sont les restrictions de l’action sur Σ
G (T ).
Cela prouve (3) et (4).
On récrit (2) sous la forme
ρ
GJ
J,st = x +
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,J∈J
(G J ) (s)
M
(B)
i M (G, G
(s))i
G
(s)
J
σ
(GJ )
(s)
J
.
Pour tout s apparaissant, on a
i M (G, G
(s))i
G
(s)
J
= [Z( ˆ
G
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 [Z( ˆ
G
(s) J )
ΓF : Z( ˆ
G
(s))
ΓF ]
−1 .
En utilisant (4), on obtient
i M (G, G
(s))i
G
(s)
J
= [Z(( ˆ
G J )
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1
= [Z(( ˆ
G J )
(s))
ΓF : Z( ˆ
G J )
ΓF ]
−1 [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1
= i M (G J , (G J )
(s))[Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 .