III.1. Le cas des groupes non tordus
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Il en est de même des systèmes de coracines, ou, ce qui revient au même, des
systèmes de racines des groupes duaux ˆ
G et ˆ
G J . De l’inclusion des systèmes de
coracines résulte, comme on l’a dit en [II] 3.3, que Z( ˆ
G) est contenu dans Z( ˆ
G J ).
L’égalité des rangs entraîne que le premier groupe est d’indice fini dans le second.
Enfin, l’équivariance entraîne que Z( ˆ
G)
ΓF est aussi un sous-groupe d’indice fini
de Z( ˆ
G J )
ΓF . On pose
i
G
J = [Z( ˆ
G J )
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 .
Remarquons que, dans le cas où J est maximal, cf. [II] 3.1, on a G J = G et i
G
J = 1.
En particulier, si l’on remplace G par G J , J devient l’élément maximal de J
GJ
M (B)
et i
GJ
J = 1. On a prouvé en [II] 3.3 l’inclusion Ann
GJ
unip ⊂ Ann
G
unip .
Proposition.
(i) Pour tout J ∈ J
G
M (B), σ
G
J est la composée de i
G
J σ
GJ
J
et de la projection
U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
(ii) Pour tout J ∈ J
G
M (B), σ
G
J prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G,st
unip .
(iii) Pour tout δ ∈ D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f → S
G
M (δ, B, f )
est stable.
Preuve. Rappelons que l’on note ρ
G
J,st la restriction de ρ
G
J à l’espace
D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
On peut reformuler la définition de σ
G
J par l’égalité
(1)
ρ
G
J,st =
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,J∈J
G (s)
M
(B)
i M (G, G
(s))σ
G
(s)
J
.
Plus exactement, il s’agit des projections modulo Ann
G
unip des σ
G
(s)
J
. Pour
simplifier, on oublie de telles projections dans la notation. Le membre de gauche
est égal à ρ
GJ
J,st d’après [II] 3.3(i) (en oubliant les projections). Pour s = 1, on
peut utiliser par récurrence le (i) de l’énoncé : on a σ
G
(s)
J
= i
G
(s)
J
σ
G
(s)J
J
. Posons