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Chapitre III. Réductions et preuves
III.1 Le cas des groupes non tordus
III.1.1 Rappel des résultats d’Arthur
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non-archimédien de caractéristique nulle, sauf mention expresse du contraire. On considère dans cette section
un triplet (G, ˜
G, a) non tordu, c’est-à-dire que ˜
G = G et a = 1. Le triplet se réduit
donc à l’unique groupe G. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8. On peut affaiblir les hypothèses de récurrence posées en [II] 1.1. En effet, en partant de notre
groupe G, on ne peut faire apparaître par les constructions de [II] que des triplets
non tordus, réduits à un unique groupe. Les hypothèses de récurrence suivantes
sont donc suffisantes : si G est quasi-déployé, on suppose connus tous les résultats concernant des groupes G
quasi-déployés tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ) ;
si G n’est pas quasi-déployé, on suppose connus tous les résultats concernant les
groupes quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et tous les résultats
concernant les groupes quelconques tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si une assertion est relative à un Levi M de G, on suppose connues toutes les assertions
concernant le même groupe G et relatives à un Levi L ∈ L(M ) tel que L = M .
Soit M un Levi de G. Dans ce cas, les résultats suivants ont été prouvés par
Arthur ([18] local theorem 1) :
(1) soit γ ∈ D g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) ; on
suppose que le support de γ est formé d’éléments fortement G-réguliers ;
alors on a l’égalité
I
G,E
M (γ, f ) = I
G
M (γ, f );
(2) supposons G quasi-déployé ; soit δ ∈ D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ; on suppose que le support de δ est formé d’éléments fortement G-réguliers ; alors la
distribution f → S
G
M (δ, f ) est stable.
En vertu de la proposition 2.10 de [II], les mêmes résultats valent sous des
hypothèses plus faibles concernant les supports des éléments γ ou δ : on peut y
remplacer «G-réguliers» par «G-équisinguliers».
III.1.2 Intégrales orbitales pondérées stables
On suppose G quasi-déployé. Soit M un Levi de G. On a défini en [II] 3.3 l’ensemble
J
G
M (B). Pour J ∈ J
G
M (B), on peut appliquer la construction [II] 3.5 à la classe
O = {1} et au système de fonctions déduit de notre fonction B. Cela définit une
application linéaire
σ
G
J : D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G
unip .
On a aussi défini en [II] 3.3 un groupe G J qui n’est pas, en général, un sousgroupe de G. Le système de racines de G J est un sous-système de celui de G, de
même rang que celui-ci et l’inclusion est équivariante pour les actions galoisiennes.
Chapitre III. Réductions et preuves
III.1 Le cas des groupes non tordus
III.1.1 Rappel des résultats d’Arthur
Dans tout le chapitre, le corps de base F est local non-archimédien de caractéristique nulle, sauf mention expresse du contraire. On considère dans cette section
un triplet (G, ˜
G, a) non tordu, c’est-à-dire que ˜
G = G et a = 1. Le triplet se réduit
donc à l’unique groupe G. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8. On peut affaiblir les hypothèses de récurrence posées en [II] 1.1. En effet, en partant de notre
groupe G, on ne peut faire apparaître par les constructions de [II] que des triplets
non tordus, réduits à un unique groupe. Les hypothèses de récurrence suivantes
sont donc suffisantes : si G est quasi-déployé, on suppose connus tous les résultats concernant des groupes G
quasi-déployés tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ) ;
si G n’est pas quasi-déployé, on suppose connus tous les résultats concernant les
groupes quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et tous les résultats
concernant les groupes quelconques tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si une assertion est relative à un Levi M de G, on suppose connues toutes les assertions
concernant le même groupe G et relatives à un Levi L ∈ L(M ) tel que L = M .
Soit M un Levi de G. Dans ce cas, les résultats suivants ont été prouvés par
Arthur ([18] local theorem 1) :
(1) soit γ ∈ D g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )) ; on
suppose que le support de γ est formé d’éléments fortement G-réguliers ;
alors on a l’égalité
I
G,E
M (γ, f ) = I
G
M (γ, f );
(2) supposons G quasi-déployé ; soit δ ∈ D
st
g´ eom (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ; on suppose que le support de δ est formé d’éléments fortement G-réguliers ; alors la
distribution f → S
G
M (δ, f ) est stable.
En vertu de la proposition 2.10 de [II], les mêmes résultats valent sous des
hypothèses plus faibles concernant les supports des éléments γ ou δ : on peut y
remplacer «G-réguliers» par «G-équisinguliers».
III.1.2 Intégrales orbitales pondérées stables
On suppose G quasi-déployé. Soit M un Levi de G. On a défini en [II] 3.3 l’ensemble
J
G
M (B). Pour J ∈ J
G
M (B), on peut appliquer la construction [II] 3.5 à la classe
O = {1} et au système de fonctions déduit de notre fonction B. Cela définit une
application linéaire
σ
G
J : D
st
unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/Ann
G
unip .
On a aussi défini en [II] 3.3 un groupe G J qui n’est pas, en général, un sousgroupe de G. Le système de racines de G J est un sous-système de celui de G, de
même rang que celui-ci et l’inclusion est équivariante pour les actions galoisiennes.