Introduction
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égaux que s’ils sont tous deux nuls. La nullité du membre de gauche est l’assertion du théorème [II] 1.16. La nullité du membre de droite est l’assertion (4) Jmax .
Tout revient donc à prouver (4) J pour J non maximal. Dans le cas où ˜
G = G et
a = 1, on raisonne par récurrence sur la dimension de G. A un J non maximal, on
associe un certain sous-groupe G J G, et on montre que l’assertion se déduit de
l’assertion analogue où G est remplacé par G J . Le cas général utilise la descente.
On fixe η ∈ O et on montre que les termes ρ
˜
G
J (γ, a) et ρ
˜
G,E
J (γ, a) se déduisent de
termes analogues où ˜
G est remplacé par la composante neutre G η du commutant
de η dans ˜
G. Ce groupe G γ n’étant plus tordu, le résultat précédent s’applique
et on peut conclure. La théorie de la descente est facile pour le terme ρ
˜
G
J (γ, a)
(du moins, elle est facile maintenant que Harish-Chandra et Arthur ont travaillé
pour nous). C’est beaucoup plus délicat pour le terme endoscopique ρ
˜
G,E
J (γ, a)
car, dans le cas tordu, mélanger descente et endoscopie fait apparaître des «triplets endoscopiques non standard», cf. 6.1. Il y a une analogue de l’assertion (4) J
pour de tels triplets que nous déduirons elle-aussi de l’hypothèse (Hyp), modulo
un raisonnement par récurrence assez sophistiqué, cf. 6.3.
Il y a deux cas où on obtient des résultats non conditionnels, parce que l’on
peut dès maintenant prouver la validité de (Hyp). Le premier, détaillé dans la
section 1, est celui où il n’y a pas de torsion : ˜
G = G et a = 1. Dans ce cas, (Hyp)
a été prouvé par Arthur ([18] local theorem 1). Le second, auquel est consacré la
section 2, est celui où G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et a = 1. Dans
ce cas, on montre que l’on peut plonger ˜
G dans un groupe non tordu H de sorte
que l’hypothèse (Hyp) pour ˜
G se déduise de la même hypothèse pour ce groupe
H. Comme on vient de le dire, cette dernière a été prouvée par Arthur puisque H
n’est pas tordu.
Dans la troisième section, limitée au cas des groupes non tordus, on montre
comment se comportent nos objets (par exemple les termes ρ
˜
G
J (γ, a)) par passage
au revêtement simplement connexe du groupe dérivé. Dans la quatrième section, on
énonce comment se comportent ces mêmes objets par descente d’Harish-Chandra.
Dans la section 5, on reprend les constructions de [79] qui permettent de relier
descente et endoscopie. C’est là qu’apparaissent les triplets endoscopiques non
standard. La section 6 leur est consacrée. Dans la section 7, on développe la démonstration grossièrement évoquée ci-dessus, c’est-à-dire que l’on montre que la
plupart des énoncés de [II] résultent de l’hypothèse (Hyp). La huitième et dernière section concerne les énoncés restants, à savoir ceux concernant les germes de
Shalika. Ces germes sont locaux, c’est-à-dire vivent au voisinage d’une classe de
conjugaison stable semi-simple O fixée dans ˜
M (F ). On prouve ces résultats sans
recourir à l’hypothèse (Hyp), pourvu que O n’appartienne pas à un ensemble au
plus fini de telles classes. Ces résultats n’ont pas de conséquence immédiate mais
le fait qu’ils soient obtenus sans hypothèse nous sera utile plus tard.
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égaux que s’ils sont tous deux nuls. La nullité du membre de gauche est l’assertion du théorème [II] 1.16. La nullité du membre de droite est l’assertion (4) Jmax .
Tout revient donc à prouver (4) J pour J non maximal. Dans le cas où ˜
G = G et
a = 1, on raisonne par récurrence sur la dimension de G. A un J non maximal, on
associe un certain sous-groupe G J G, et on montre que l’assertion se déduit de
l’assertion analogue où G est remplacé par G J . Le cas général utilise la descente.
On fixe η ∈ O et on montre que les termes ρ
˜
G
J (γ, a) et ρ
˜
G,E
J (γ, a) se déduisent de
termes analogues où ˜
G est remplacé par la composante neutre G η du commutant
de η dans ˜
G. Ce groupe G γ n’étant plus tordu, le résultat précédent s’applique
et on peut conclure. La théorie de la descente est facile pour le terme ρ
˜
G
J (γ, a)
(du moins, elle est facile maintenant que Harish-Chandra et Arthur ont travaillé
pour nous). C’est beaucoup plus délicat pour le terme endoscopique ρ
˜
G,E
J (γ, a)
car, dans le cas tordu, mélanger descente et endoscopie fait apparaître des «triplets endoscopiques non standard», cf. 6.1. Il y a une analogue de l’assertion (4) J
pour de tels triplets que nous déduirons elle-aussi de l’hypothèse (Hyp), modulo
un raisonnement par récurrence assez sophistiqué, cf. 6.3.
Il y a deux cas où on obtient des résultats non conditionnels, parce que l’on
peut dès maintenant prouver la validité de (Hyp). Le premier, détaillé dans la
section 1, est celui où il n’y a pas de torsion : ˜
G = G et a = 1. Dans ce cas, (Hyp)
a été prouvé par Arthur ([18] local theorem 1). Le second, auquel est consacré la
section 2, est celui où G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et a = 1. Dans
ce cas, on montre que l’on peut plonger ˜
G dans un groupe non tordu H de sorte
que l’hypothèse (Hyp) pour ˜
G se déduise de la même hypothèse pour ce groupe
H. Comme on vient de le dire, cette dernière a été prouvée par Arthur puisque H
n’est pas tordu.
Dans la troisième section, limitée au cas des groupes non tordus, on montre
comment se comportent nos objets (par exemple les termes ρ
˜
G
J (γ, a)) par passage
au revêtement simplement connexe du groupe dérivé. Dans la quatrième section, on
énonce comment se comportent ces mêmes objets par descente d’Harish-Chandra.
Dans la section 5, on reprend les constructions de [79] qui permettent de relier
descente et endoscopie. C’est là qu’apparaissent les triplets endoscopiques non
standard. La section 6 leur est consacrée. Dans la section 7, on développe la démonstration grossièrement évoquée ci-dessus, c’est-à-dire que l’on montre que la
plupart des énoncés de [II] résultent de l’hypothèse (Hyp). La huitième et dernière section concerne les énoncés restants, à savoir ceux concernant les germes de
Shalika. Ces germes sont locaux, c’est-à-dire vivent au voisinage d’une classe de
conjugaison stable semi-simple O fixée dans ˜
M (F ). On prouve ces résultats sans
recourir à l’hypothèse (Hyp), pourvu que O n’appartienne pas à un ensemble au
plus fini de telles classes. Ces résultats n’ont pas de conséquence immédiate mais
le fait qu’ils soient obtenus sans hypothèse nous sera utile plus tard.