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Chapitre III. Réductions et preuves
Esquissons comment se déduit le théorème [II] 1.16 de l’hypothèse (Hyp).
L’énoncé de ce théorème est le même que celui de (Hyp), sauf que l’on supprime
l’hypothèse sur le support de γ. En utilisant la théorie des germes de Shalika,
on a prouvé en [II] 2.10 que (Hyp) entraînait une assertion plus forte, à savoir la
même égalité sous l’hypothèse plus faible que le support de γ est formé d’éléments
˜
G-équisinguliers, c’est-à-dire d’éléments γ ∈ ˜
M (F ) tels que M γ = G γ . Passons
au cas où γ est quelconque. On peut fixer une classe de conjugaison stable O
d’éléments semi-simples de ˜
M (F ) et supposer γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ,
c’est-à-dire que le support de γ est formé d’éléments de parties semi-simples dans
O. Soit a ∈ A ˜
M (F ) en position générale. On note aγ la translatée de γ par a.
Le support de cette distribution est formé d’éléments ˜
G-équisinguliers. On a donc
pour tout f l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(aγ, f ) = I
˜
G
˜
M
(aγ, f ).
Faisons tendre a vers 1. On a établi un développement de ces deux termes en [II]
3.2 et [II] 3.9. Pour les énoncer facilement, faisons l’hypothèse simplificatrice que
˜
M est un espace de Levi propre et maximal de ˜
G. Alors I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) est équivalent
(en un sens défini en [II] 3.1) à
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
I
˜
G (ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G , f ).
L’ensemble J
˜
G
˜
M
est celui des racines de A ˜
M dans g, au signe près. Pour J = {±α},
le terme ρ
˜
G
J (γ, a) est le produit d’un élément de D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ indépendant de a et de log(|α(a)−α(a)
−1
| F ). Enfin, le second exposant ˜
G de ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G
indique que l’on induit cette distribution à ˜
G(F ). On a un développement parallèle
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
I
˜
G (ρ
˜
G,E
J (γ, a)
˜
G , f ).
La notion d’équivalence évoquée plus haut est inoffensive : l’égalité (1) entraîne
que (2) et (3) sont égaux. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, considérons l’assertion
(4) J on a ρ
˜
G,E
J (γ, a)
˜
G = ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et
tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et proche de 1.
L’ensemble J
˜
G
˜
M
possède un élément «maximal» J max = {±α} formé des deux
racines indivisibles. Supposons (4) J prouvé pour J = J max . Alors l’égalité de (2)
et (3) entraîne
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G (ρ
˜
G
Jmax (γ, a)
˜
G
− ρ
˜
G,E
Jmax (γ, a)
˜
G , f ).
Or le membre de gauche est constant en a tandis que celui de droite est proportionnel à log(|α(a) − α(a)
−1
| F ), où α est une racine indivisible. Il ne peuvent être
Chapitre III. Réductions et preuves
Esquissons comment se déduit le théorème [II] 1.16 de l’hypothèse (Hyp).
L’énoncé de ce théorème est le même que celui de (Hyp), sauf que l’on supprime
l’hypothèse sur le support de γ. En utilisant la théorie des germes de Shalika,
on a prouvé en [II] 2.10 que (Hyp) entraînait une assertion plus forte, à savoir la
même égalité sous l’hypothèse plus faible que le support de γ est formé d’éléments
˜
G-équisinguliers, c’est-à-dire d’éléments γ ∈ ˜
M (F ) tels que M γ = G γ . Passons
au cas où γ est quelconque. On peut fixer une classe de conjugaison stable O
d’éléments semi-simples de ˜
M (F ) et supposer γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ,
c’est-à-dire que le support de γ est formé d’éléments de parties semi-simples dans
O. Soit a ∈ A ˜
M (F ) en position générale. On note aγ la translatée de γ par a.
Le support de cette distribution est formé d’éléments ˜
G-équisinguliers. On a donc
pour tout f l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(aγ, f ) = I
˜
G
˜
M
(aγ, f ).
Faisons tendre a vers 1. On a établi un développement de ces deux termes en [II]
3.2 et [II] 3.9. Pour les énoncer facilement, faisons l’hypothèse simplificatrice que
˜
M est un espace de Levi propre et maximal de ˜
G. Alors I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) est équivalent
(en un sens défini en [II] 3.1) à
(2)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
I
˜
G (ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G , f ).
L’ensemble J
˜
G
˜
M
est celui des racines de A ˜
M dans g, au signe près. Pour J = {±α},
le terme ρ
˜
G
J (γ, a) est le produit d’un élément de D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ indépendant de a et de log(|α(a)−α(a)
−1
| F ). Enfin, le second exposant ˜
G de ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G
indique que l’on induit cette distribution à ˜
G(F ). On a un développement parallèle
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
I
˜
G (ρ
˜
G,E
J (γ, a)
˜
G , f ).
La notion d’équivalence évoquée plus haut est inoffensive : l’égalité (1) entraîne
que (2) et (3) sont égaux. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, considérons l’assertion
(4) J on a ρ
˜
G,E
J (γ, a)
˜
G = ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et
tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et proche de 1.
L’ensemble J
˜
G
˜
M
possède un élément «maximal» J max = {±α} formé des deux
racines indivisibles. Supposons (4) J prouvé pour J = J max . Alors l’égalité de (2)
et (3) entraîne
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G (ρ
˜
G
Jmax (γ, a)
˜
G
− ρ
˜
G,E
Jmax (γ, a)
˜
G , f ).
Or le membre de gauche est constant en a tandis que celui de droite est proportionnel à log(|α(a) − α(a)
−1
| F ), où α est une racine indivisible. Il ne peuvent être