Chapitre III
Intégrales orbitales et endoscopie
sur un corps local non-archimédien ;
réductions et preuves
Introduction
Soient F un corps local non-archimédien de caractéristique nulle, G un groupe
réductif connexe défini sur F , ˜
G un espace tordu sous G et a un élément de
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)), dont se déduit un caractère ω de G(F ). On impose les hypothèses de [II] 1.1. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On a énoncé dans [II] diverses
assertions concernant les intégrales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, f ) et leurs variantes endoscopiques I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ). Le terme γ est un élément de D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , ce qui revient essentiellement à dire que c’est une combinaison linéaire finie d’intégrales orbitales dans ˜
M (F ) (tordues par ω). Le terme f est un
élément de I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), ce qui revient essentiellement à dire que c’est
une fonction sur ˜
G(F ), localement constante et à support compact. Considérons
l’hypothèse suivante :
(Hyp). Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ),ω) ⊗ Mes(G(F )) ;
supposons que γ soit à support fortement régulier dans ˜
G(F ) ; alors on a
l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
Le but du chapitre est de prouver toutes les assertions énoncées en [II] sous
cette hypothèse. Celle-ci sera prouvée au chapitre [X]. Plus précisément, on montrera en [X] 3.5 qu’elle est vérifiée pourvu que nos présentes données apparaissent
comme les composantes locales de données définies sur un corps de nombres et vérifiant certaines conditions. L’existence de telles données globales sera démontrée
en [X] 7.7.
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _3
Progress in Mathematics 316, DOI
311
© Springer International Publishing Switzerland 2016
Intégrales orbitales et endoscopie
sur un corps local non-archimédien ;
réductions et preuves
Introduction
Soient F un corps local non-archimédien de caractéristique nulle, G un groupe
réductif connexe défini sur F , ˜
G un espace tordu sous G et a un élément de
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)), dont se déduit un caractère ω de G(F ). On impose les hypothèses de [II] 1.1. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On a énoncé dans [II] diverses
assertions concernant les intégrales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
M
(γ, f ) et leurs variantes endoscopiques I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ). Le terme γ est un élément de D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , ce qui revient essentiellement à dire que c’est une combinaison linéaire finie d’intégrales orbitales dans ˜
M (F ) (tordues par ω). Le terme f est un
élément de I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), ce qui revient essentiellement à dire que c’est
une fonction sur ˜
G(F ), localement constante et à support compact. Considérons
l’hypothèse suivante :
(Hyp). Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ),ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ),ω) ⊗ Mes(G(F )) ;
supposons que γ soit à support fortement régulier dans ˜
G(F ) ; alors on a
l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
Le but du chapitre est de prouver toutes les assertions énoncées en [II] sous
cette hypothèse. Celle-ci sera prouvée au chapitre [X]. Plus précisément, on montrera en [X] 3.5 qu’elle est vérifiée pourvu que nos présentes données apparaissent
comme les composantes locales de données définies sur un corps de nombres et vérifiant certaines conditions. L’existence de telles données globales sera démontrée
en [X] 7.7.
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _3
Progress in Mathematics 316, DOI
311
© Springer International Publishing Switzerland 2016