II.4. Le cas non ramifié
309
de (5). Si n > 0, les termes constants de u
et de u sont nuls. Si n = 0, il est clair
que u = u
. Cela achève de prouver (5).
Revenons à la preuve de (4). On utilise la définition 4.3(1). Pour tout ˜
s ∈
˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , les assertions (3), (5) et (6) impliquent que le germe de la
fonction
a → s
G
(˜ s)
M (ξ(a)δ
, ˜
K)
est équivalent à un élément de U
˜
G
˜
M
dont le terme constant est s
G
(˜ s)
M δ
, ˜
K). On
sommant ces résultats sur ˜
s, on obtient (4).
II.4.8 Preuve du théorème 4.4
Pour a ∈ A ˜
M (F ) en position générale, l’élément ξ(a)δ
est combinaison linéaire
d’éléments vérifiant les hypothèses de 4.5(3) . Donc
r
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ
, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(transfert(ξ(a)δ
), ˜
K).
On a l’égalité transfert(ξ(a)δ
) = a transfert(δ
). D’après les assertions 4.7(2)
et (4), les deux membres ci-dessus sont équivalents à des élément de U
˜
G
˜
M
dont
les termes constants sont respectivement r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) et r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
), ˜
K).
Ces éléments de U
˜
G
˜
M
sont forcément les mêmes d’après 3.1(2). Donc leurs termes
constants sont égaux. Cela prouve le théorème.