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Chapitre II. Enoncés des résultats
On note ξ : A ˜
M (F ) → A ˜
M (F ) l’homomorphisme naturel. On a
(4) pour tout δ
∈ D
st
g´ eom (M
), le germe en 1 de la fonction
a → r
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ
, ˜
K)
est équivalent à un élément de U
˜
G
˜
M
dont le terme constant est égal à
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K).
Preuve. Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Soit u
∈ U
˜
G
(˜ s)
˜
M
et v
un germe de fonctions défini presque partout au voisinage de 1 dans A ˜
M (F ). Notons u, resp. v, le
germe de fonctions a → u
(ξ(a)), resp. a → v
(ξ(a)), défini presque partout sur
A ˜
M (F ) au voisinage de 1. On a
(5) u appartient à U
˜
G
˜
M
et a même terme constant que u
;
(6) si v
est équivalent à u
, alors v est équivalent à u.
La preuve de (6) est immédiate. Prouvons (5). Par linéarité, il suffit de prouver cette assertion quand u
appartient à un ensemble de générateurs de U
˜
G
(˜ s)
˜
M . On
peut donc fixer des éléments linéairement indépendants α
1 , . . . , α
n de Σ
G
(˜ s) (A ˜
M )
et supposer que u
est la fonction
u
(a
) =
i=1,...,n
log(|α
i (a
) − α
i (a
)
−1
| F ).
Identifions les paires de Borel épinglées de G et G
(˜ s) à des paires de Borel épinglées de ces groupes pour lesquelles M et M
sont standard. On note T et T
les
tores de ces paires et θ l’automorphisme habituel qui conserve la paire de Borel
épinglée de G. On rappelle que, pour β ∈ Σ(T ), on note n β le plus petit entier
k ≥ 1 tel que θ
k (β) = β. Notre hypothèse que p est grand implique que tous les
entiers n β sont premiers à p. L’homomorphisme ξ ci-dessus est la restriction d’un
homomorphisme encore noté ξ : T → T
T /(1 − θ)(T ). Pour tout i = 1, . . . , n,
choisissons β
i ∈ Σ(T
) dont la restriction à A ˜
M soit α
i . D’après la description déjà
utilisée plusieurs fois du système de racines de G
(˜ s), il y a une racine β i ∈ Σ(T ) de
sorte que β
i ◦ ξ coïncide sur T
θ,0 avec n βi β i ou 2n βi β i (en notation additive). Notons α i la restriction de β i à A ˜
M . Alors α
i (ξ(a)) = α i (a)
mi pour tout a ∈ A ˜
M (F ),
avec m i = n βi ou m i = 2n βi . En tout cas, m i est un entier premier à p. Mais alors
|α
i (ξ(a)) − α
i (ξ(a))
−1
| F coïncide avec |α i (a) − α i (a)
−1
| F pour a assez voisin de
1. Le germe de u coïncide donc avec celui de
a →
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F ).
Les racines (α i ) i=1,...,n sont encore linéairement indépendantes. D’après les définitions, la fonction ci-dessus appartient à U
˜
G
˜
M
. Cela prouve la première assertion
Chapitre II. Enoncés des résultats
On note ξ : A ˜
M (F ) → A ˜
M (F ) l’homomorphisme naturel. On a
(4) pour tout δ
∈ D
st
g´ eom (M
), le germe en 1 de la fonction
a → r
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ
, ˜
K)
est équivalent à un élément de U
˜
G
˜
M
dont le terme constant est égal à
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K).
Preuve. Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Soit u
∈ U
˜
G
(˜ s)
˜
M
et v
un germe de fonctions défini presque partout au voisinage de 1 dans A ˜
M (F ). Notons u, resp. v, le
germe de fonctions a → u
(ξ(a)), resp. a → v
(ξ(a)), défini presque partout sur
A ˜
M (F ) au voisinage de 1. On a
(5) u appartient à U
˜
G
˜
M
et a même terme constant que u
;
(6) si v
est équivalent à u
, alors v est équivalent à u.
La preuve de (6) est immédiate. Prouvons (5). Par linéarité, il suffit de prouver cette assertion quand u
appartient à un ensemble de générateurs de U
˜
G
(˜ s)
˜
M . On
peut donc fixer des éléments linéairement indépendants α
1 , . . . , α
n de Σ
G
(˜ s) (A ˜
M )
et supposer que u
est la fonction
u
(a
) =
i=1,...,n
log(|α
i (a
) − α
i (a
)
−1
| F ).
Identifions les paires de Borel épinglées de G et G
(˜ s) à des paires de Borel épinglées de ces groupes pour lesquelles M et M
sont standard. On note T et T
les
tores de ces paires et θ l’automorphisme habituel qui conserve la paire de Borel
épinglée de G. On rappelle que, pour β ∈ Σ(T ), on note n β le plus petit entier
k ≥ 1 tel que θ
k (β) = β. Notre hypothèse que p est grand implique que tous les
entiers n β sont premiers à p. L’homomorphisme ξ ci-dessus est la restriction d’un
homomorphisme encore noté ξ : T → T
T /(1 − θ)(T ). Pour tout i = 1, . . . , n,
choisissons β
i ∈ Σ(T
) dont la restriction à A ˜
M soit α
i . D’après la description déjà
utilisée plusieurs fois du système de racines de G
(˜ s), il y a une racine β i ∈ Σ(T ) de
sorte que β
i ◦ ξ coïncide sur T
θ,0 avec n βi β i ou 2n βi β i (en notation additive). Notons α i la restriction de β i à A ˜
M . Alors α
i (ξ(a)) = α i (a)
mi pour tout a ∈ A ˜
M (F ),
avec m i = n βi ou m i = 2n βi . En tout cas, m i est un entier premier à p. Mais alors
|α
i (ξ(a)) − α
i (ξ(a))
−1
| F coïncide avec |α i (a) − α i (a)
−1
| F pour a assez voisin de
1. Le germe de u coïncide donc avec celui de
a →
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F ).
Les racines (α i ) i=1,...,n sont encore linéairement indépendantes. D’après les définitions, la fonction ci-dessus appartient à U
˜
G
˜
M
. Cela prouve la première assertion