II.4. Le cas non ramifié
307
ce dernier cas, on a simplement u α (H) = u α (H
˜
L ). Ainsi u(H) est un polynôme
en k pour k assez négatif, dont le terme constant est u
˜
L (H
˜
L ). Puisque u = 0, le
polynôme est identiquement nul. Cela entraîne u
˜
L (H
˜
L ) = 0. On a déjà dit que
cela permettait de conclure.
Le lemme permet de définir le terme constant d’un élément de U
˜
G
˜
M
: c’est sa
projection sur le sous-espace C.
II.4.7 Développement des fonctions r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) et s
˜
G
˜
M
(., ˜
K)
La proposition 3.2 définit des applications linéaires ρ
˜
G
J pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
. On a
(1) pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω), le germe en 1 de la fonction
a → r
˜
G
˜
M
(aγ, ˜
K)
est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
r
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , ˜
K).
Il suffit de reprendre la preuve de 3.2. La seule propriété que l’on utilisait des
intégrales orbitales ω-équivariantes était la relation 1.7(12). Une relation analogue
vaut pour notre fonction r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) grâce à 4.1(1).
Vu comme fonction de a, chaque terme r
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , ˜
K) appartient à U J .
On en déduit
(2) pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω), le germe en 1 de la fonction
a → r
˜
G
˜
M
(aγ, ˜
K)
est équivalent à un élément de U
˜
G
˜
M
dont le terme constant est égal à r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K).
Rappelons que, d’après 3.1(2), cet élément de U
˜
G
˜
M
est uniquement déterminé.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
(3) pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), le germe en 1 de la fonction
a → s
˜
G
˜
M
(aδ, ˜
K)
est équivalent à un élément de U
˜
G
˜
M
dont le terme constant est égal à s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K).
Cela résulte par récurrence de la définition 3.2(4), de (2) ci-dessus et de la
propriété évidente suivante : pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on a l’inclusion
U
˜
G(s)
˜
M
⊂ U
˜
G
˜
M
.