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Chapitre II. Enoncés des résultats
II.4.6 Un espace de germes sous hypothèses sur p
On a défini en 3.1 un espace de germes U J pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
. On pose
U
˜
G
˜
M
=
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
U J et U
˜
G,+
˜
M
=
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
J∈J
˜
L
˜
M
U J .
Rappelons que, pour J = ∅, on a U ∅ = C. Donc U
˜
G
˜
M
= C + U
˜
G,+
˜
M
.
Lemme. Supposons p = 2, 3, 5. Alors les espaces C et U
˜
G,+
˜
M
sont en somme directe.
Remarque. L’hypothèse faite sur p en 5.1 entraîne p = 2, 3, 5. Mais cette dernière
condition est suffisante ici.
Preuve. On descend les fonctions à l’algèbre de Lie a ˜
M (F ) comme en 3.1 et on
utilise les notations de ce paragraphe. Soit
u =
α
c α u α
une combinaison linéaire de fonctions u α , où α = {α i ; i = 1, . . . , n} décrit les
ensembles formés d’éléments linéairement indépendants de Σ(A ˜
M ). Supposons u =
0. On doit alors prouver que c ∅ = 0 (rappelons que u ∅ est la fonction constante de
valeur 1). On raisonne par récurrence sur a ˜
M − a ˜
G . L’assertion est triviale si ce
nombre est nul, autrement dit si ˜
M = ˜
G, puisqu’alors u se réduit à c ∅ u ∅ . Supposons
a ˜
M − a ˜
G > 0, fixons un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) et notons Δ ˜
P l’ensemble de racines
simples associé. Fixons β ∈ Δ ˜
P . Il lui est associé un espace de Levi ˜
L, maximal
parmi les espaces de Levi propres de ˜
G, de sorte que Δ ˜
P ∩ ˜
L = Δ ˜
P −{β}. Notons u
˜
L
la sous-somme de u, où on ne conserve que les α = {α i ; i = 1, . . . , n} tels que α i ∈
Σ
˜
L (A ˜
M ) pour tout i. Elle contient le terme constant c ∅ u ∅ et appartient à U
˜
L
˜
M
. On
va prouver que u
˜
L = 0. L’hypothèse de récurrence permettra alors de conclure que
c ∅ = 0. Puisque u
˜
L est invariante par translations par a ˜
L (F ), il suffit de prouver
qu’elle est nulle sur a
˜
L
˜
M
(F ). Fixons un élément H
˜
L de cet espace, ainsi qu’un
élément H β de a ˜
L (F ) tel que β(H β ) = 1. Soit k ∈ Z, posons H =
k
F H β + H
˜
L .
Soit α ∈ Σ(A ˜
M ). On peut écrire α =
β ∈Δ ˜
P
n β β
, avec des coefficients entiers
n β . Ainsi qu’on l’a déjà dit, on voit en considérant tous les systèmes de racines
possibles que ces entiers appartiennent à l’ensemble {0, ±1, . . . , ±6}. L’hypothèse
sur p entraîne que |n β | F = 1 pour tout β
∈ Δ ˜
P . Si α ∈ Σ
˜
L (A ˜
M ), on a n β = 0 et
α(H) = α(H
˜
L ). Si α ∈ Σ
˜
L (A ˜
M ), on a n β = 0. Considérons H
˜
L comme fixé et k
comme variable, on a alors |α(H)| F = |n β β(
k
F H β )| F si k est assez négatif, donc
|α(H)| F = −klog(q) si k est assez négatif. On en déduit que, pour tout ensemble
α = {α i ; i = 1, . . . , n}, le terme u α (H) est un monôme en k pour k assez négatif,
dont le degré est nul si et seulement si tous les α i appartiennent à Σ
˜
L (A ˜
M ). Dans
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.4.6 Un espace de germes sous hypothèses sur p
On a défini en 3.1 un espace de germes U J pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
. On pose
U
˜
G
˜
M
=
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
U J et U
˜
G,+
˜
M
=
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
M
J∈J
˜
L
˜
M
U J .
Rappelons que, pour J = ∅, on a U ∅ = C. Donc U
˜
G
˜
M
= C + U
˜
G,+
˜
M
.
Lemme. Supposons p = 2, 3, 5. Alors les espaces C et U
˜
G,+
˜
M
sont en somme directe.
Remarque. L’hypothèse faite sur p en 5.1 entraîne p = 2, 3, 5. Mais cette dernière
condition est suffisante ici.
Preuve. On descend les fonctions à l’algèbre de Lie a ˜
M (F ) comme en 3.1 et on
utilise les notations de ce paragraphe. Soit
u =
α
c α u α
une combinaison linéaire de fonctions u α , où α = {α i ; i = 1, . . . , n} décrit les
ensembles formés d’éléments linéairement indépendants de Σ(A ˜
M ). Supposons u =
0. On doit alors prouver que c ∅ = 0 (rappelons que u ∅ est la fonction constante de
valeur 1). On raisonne par récurrence sur a ˜
M − a ˜
G . L’assertion est triviale si ce
nombre est nul, autrement dit si ˜
M = ˜
G, puisqu’alors u se réduit à c ∅ u ∅ . Supposons
a ˜
M − a ˜
G > 0, fixons un élément ˜
P ∈ P( ˜
M ) et notons Δ ˜
P l’ensemble de racines
simples associé. Fixons β ∈ Δ ˜
P . Il lui est associé un espace de Levi ˜
L, maximal
parmi les espaces de Levi propres de ˜
G, de sorte que Δ ˜
P ∩ ˜
L = Δ ˜
P −{β}. Notons u
˜
L
la sous-somme de u, où on ne conserve que les α = {α i ; i = 1, . . . , n} tels que α i ∈
Σ
˜
L (A ˜
M ) pour tout i. Elle contient le terme constant c ∅ u ∅ et appartient à U
˜
L
˜
M
. On
va prouver que u
˜
L = 0. L’hypothèse de récurrence permettra alors de conclure que
c ∅ = 0. Puisque u
˜
L est invariante par translations par a ˜
L (F ), il suffit de prouver
qu’elle est nulle sur a
˜
L
˜
M
(F ). Fixons un élément H
˜
L de cet espace, ainsi qu’un
élément H β de a ˜
L (F ) tel que β(H β ) = 1. Soit k ∈ Z, posons H =
k
F H β + H
˜
L .
Soit α ∈ Σ(A ˜
M ). On peut écrire α =
β ∈Δ ˜
P
n β β
, avec des coefficients entiers
n β . Ainsi qu’on l’a déjà dit, on voit en considérant tous les systèmes de racines
possibles que ces entiers appartiennent à l’ensemble {0, ±1, . . . , ±6}. L’hypothèse
sur p entraîne que |n β | F = 1 pour tout β
∈ Δ ˜
P . Si α ∈ Σ
˜
L (A ˜
M ), on a n β = 0 et
α(H) = α(H
˜
L ). Si α ∈ Σ
˜
L (A ˜
M ), on a n β = 0. Considérons H
˜
L comme fixé et k
comme variable, on a alors |α(H)| F = |n β β(
k
F H β )| F si k est assez négatif, donc
|α(H)| F = −klog(q) si k est assez négatif. On en déduit que, pour tout ensemble
α = {α i ; i = 1, . . . , n}, le terme u α (H) est un monôme en k pour k assez négatif,
dont le degré est nul si et seulement si tous les α i appartiennent à Σ
˜
L (A ˜
M ). Dans