II.4. Le cas non ramifié
305
Preuve. On utilise la définition 4.2(4). En raisonnant par récurrence, on peut
supposer que, pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , s = 1, on a l’égalité
s
G
(s)
M
(δ, ˜
K) = s
G
(s)
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K)
pourvu que δ soit assez proche de O. L’hypothèse faite sur O et la relation 2.3(1)
entraînent que le développement (1) se simplifie en
r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K).
Mais alors le membre de droite de la relation 4.2(4) pour l’élément δ coïncide avec
la même expression relative à l’élément g
˜
M
˜
M,O
(δ), donc avec s
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K).
Revenons au cas général, soit O
une classe de conjugaison stable d’éléments
semi-simples dans ˜
M
(F ). Il lui correspond une classe de conjugaison par M ( ¯
F )
dans ˜
M ( ¯
F ). Supposons que cette classe soit formée d’éléments ˜
G-équisinguliers.
Alors
(3) l’assertion du théorème 4.4 est vérifiée pour tout δ
∈ D
st
g´ eom (M
)∩D g´ eom (O
).
Preuve. Le lemme 2.2 assure que l’on peut trouver δ
reg ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
), aussi
proche que l’on veut de O
, de sorte que g
M
M ,O (δ
reg ) = δ
. En fait, en reprenant
les démonstrations, on voit que l’on peut supposer le support de δ
reg en position
générale, en particulier ˜
G-régulier. Considérons la définition 4.3(1). Notons que
l’hypothèse sur O
entraîne que, pour tout ˜
s y intervenant, O
est formé d’éléments
˜
G
(˜ s)-équisinguliers. La relation (2) ci-dessus entraîne alors l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
reg , ˜
K).
Comme en l’a dit en 4.4, le théorème est déjà connu pour δ
reg . Le membre de
droite ci-dessus est donc égal à r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
reg ), ˜
K). En appliquant (1), qui se
simplifie grâce à l’hypothèse sur O
, c’est aussi r
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )), ˜
K). On
a vu en 2.6 que
g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )) = transfert(g
M
M ,O (δ
reg )),
d’où
g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )) = transfert(δ
).
On obtient r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
), ˜
K), comme on le voulait.
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Preuve. On utilise la définition 4.2(4). En raisonnant par récurrence, on peut
supposer que, pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , s = 1, on a l’égalité
s
G
(s)
M
(δ, ˜
K) = s
G
(s)
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K)
pourvu que δ soit assez proche de O. L’hypothèse faite sur O et la relation 2.3(1)
entraînent que le développement (1) se simplifie en
r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K).
Mais alors le membre de droite de la relation 4.2(4) pour l’élément δ coïncide avec
la même expression relative à l’élément g
˜
M
˜
M,O
(δ), donc avec s
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K).
Revenons au cas général, soit O
une classe de conjugaison stable d’éléments
semi-simples dans ˜
M
(F ). Il lui correspond une classe de conjugaison par M ( ¯
F )
dans ˜
M ( ¯
F ). Supposons que cette classe soit formée d’éléments ˜
G-équisinguliers.
Alors
(3) l’assertion du théorème 4.4 est vérifiée pour tout δ
∈ D
st
g´ eom (M
)∩D g´ eom (O
).
Preuve. Le lemme 2.2 assure que l’on peut trouver δ
reg ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
(M
), aussi
proche que l’on veut de O
, de sorte que g
M
M ,O (δ
reg ) = δ
. En fait, en reprenant
les démonstrations, on voit que l’on peut supposer le support de δ
reg en position
générale, en particulier ˜
G-régulier. Considérons la définition 4.3(1). Notons que
l’hypothèse sur O
entraîne que, pour tout ˜
s y intervenant, O
est formé d’éléments
˜
G
(˜ s)-équisinguliers. La relation (2) ci-dessus entraîne alors l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
reg , ˜
K).
Comme en l’a dit en 4.4, le théorème est déjà connu pour δ
reg . Le membre de
droite ci-dessus est donc égal à r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
reg ), ˜
K). En appliquant (1), qui se
simplifie grâce à l’hypothèse sur O
, c’est aussi r
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )), ˜
K). On
a vu en 2.6 que
g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )) = transfert(g
M
M ,O (δ
reg )),
d’où
g
˜
M
˜
M,O
(transfert(δ
reg )) = transfert(δ
).
On obtient r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
), ˜
K), comme on le voulait.