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Chapitre II. Enoncés des résultats
Cela étant, on définit une forme linéaire r
˜
G,E
˜
M
(M
, ., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M
) par
l’égalité
(1)
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (δ
, ˜
K).
II.4.4 Le lemme fondamental pondéré
Théorème. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G en bonne position relativement à K.
Soit M
une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de ˜
M . Pour δ
∈
D
st
g´ eom (M
), on a l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
), ˜
K).
Supposons le support de δ
formé d’éléments semi-simples fortement ˜
Gréguliers. Dans ce cas, l’assertion est le lemme fondamental pondéré sous sa forme
usuelle. Elle est maintenant prouvée d’après [80] théorème 3.8. Ce théorème était
conditionnel, mais les conditions imposées sont levées par les résultats de Ngo Bao
Chau ([67]) et ceux de Chaudouard et Laumon ([31]), bien que ces derniers ne
soient pas encore publiés en toute généralité. La suite de la section est consacrée à
la suppression de l’hypothèse faite ci-dessus sur le support de δ
. On suppose fixés
˜
M et M
comme dans l’énoncé.
II.4.5 Développement en germes
Soit O ⊂ ˜
M (F ) une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples. La proposition 2.3 définit des germes g
˜
L
˜
M,O
pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ). D’après [9], proposition
9.1, les intégrales pondérées non ω-équivariantes vérifient le même développement
que leurs versions ω-équivariantes, avec les mêmes germes. En particulier, on a
(1)
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), ˜
K)
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) assez proche de O.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit O ⊂ ˜
M (F )
une réunion finie de classes de conjugaison stable. Supposons que O soit formée
d’éléments ˜
G-équisinguliers. Montrons que l’on a l’égalité
(2)
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = s
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K)
pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) assez proche de O. Remarquons que, d’après le lemme
2.2, g
˜
M
˜
M,O
(δ) est stable, le membre de droite ci-dessus est donc défini.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Cela étant, on définit une forme linéaire r
˜
G,E
˜
M
(M
, ., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M
) par
l’égalité
(1)
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))s
G
(˜ s)
M (δ
, ˜
K).
II.4.4 Le lemme fondamental pondéré
Théorème. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G en bonne position relativement à K.
Soit M
une donnée endoscopique elliptique et non ramifiée de ˜
M . Pour δ
∈
D
st
g´ eom (M
), on a l’égalité
r
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(transfert(δ
), ˜
K).
Supposons le support de δ
formé d’éléments semi-simples fortement ˜
Gréguliers. Dans ce cas, l’assertion est le lemme fondamental pondéré sous sa forme
usuelle. Elle est maintenant prouvée d’après [80] théorème 3.8. Ce théorème était
conditionnel, mais les conditions imposées sont levées par les résultats de Ngo Bao
Chau ([67]) et ceux de Chaudouard et Laumon ([31]), bien que ces derniers ne
soient pas encore publiés en toute généralité. La suite de la section est consacrée à
la suppression de l’hypothèse faite ci-dessus sur le support de δ
. On suppose fixés
˜
M et M
comme dans l’énoncé.
II.4.5 Développement en germes
Soit O ⊂ ˜
M (F ) une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples. La proposition 2.3 définit des germes g
˜
L
˜
M,O
pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ). D’après [9], proposition
9.1, les intégrales pondérées non ω-équivariantes vérifient le même développement
que leurs versions ω-équivariantes, avec les mêmes germes. En particulier, on a
(1)
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) =
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), ˜
K)
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) assez proche de O.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit O ⊂ ˜
M (F )
une réunion finie de classes de conjugaison stable. Supposons que O soit formée
d’éléments ˜
G-équisinguliers. Montrons que l’on a l’égalité
(2)
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = s
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), ˜
K)
pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) assez proche de O. Remarquons que, d’après le lemme
2.2, g
˜
M
˜
M,O
(δ) est stable, le membre de droite ci-dessus est donc défini.