II.4. Le cas non ramifié
303
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )). Mais l’action par conjugaison de M ad (F ) se restreint
en l’identité sur les distributions stables. Donc
r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K
)
pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )). Cela prouve (3).
Grâce à (3), on peut étendre la définition de la restriction de r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) à
D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) au cas où M n’est plus supposé en bonne position relativement
à ˜
K : on choisit g ∈ G AD (F ) tel que M soit en bonne position relativement à
ad g (K) ; pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), on pose r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(δ, ad g ( ˜
K)). L’assertion
(3) assure que cela ne dépend pas du choix de g.
On peut maintenant définir notre forme linéaire s
˜
G
˜
M
(., ˜
K).
Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), on pose
(4)
s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))s
G
(s)
M
(δ, ˜
K).
La vérification des propriétés (1) et (2) est immédiate par récurrence, et grâce à (3).
Notons une autre propriété formelle de notre forme linéaire. Le groupe
Z(G; F ) agit par multiplication sur ˜
G(F ), donc aussi sur C
∞
c ( ˜
M (F )) (précisément
f
z (γ) = f (zγ)) puis sur D g´ eom ( ˜
M (F )), en conservant l’espace des distributions
stables. Pour z ∈ Z(G; F ) et δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )), on a l’égalité
s
˜
G
˜
M
(δ
z , ˜
K) = s
˜
G
˜
M
(δ, z ˜
K).
II.4.3 L’avatar endoscopique
On revient au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque (mais non ramifié comme dans toute
la section). Soient ˜
M un Levi de ˜
G et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique
elliptique et non ramifiée de ˜
M . Pour ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ , on dispose de la
donnée endoscopique G
(˜ s) = (G
(˜ s), G
(˜ s), ˜
s) de (G, ˜
G, a), qui est non ramifiée.
Supposons-la elliptique. Alors A
G
(˜ s)
M
A
˜
G
˜
M
et on choisit pour mesure sur le
premier espace l’image par cet isomorphisme de la mesure fixée sur le second.
On définit une forme linéaire s
G
(˜ s)
M (., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M
) de la même façon qu’au
paragraphe précédent. C’est-à-dire que l’on choisit des données auxiliaires non
ramifiées G
1 (˜ s), ˜
G
1 (˜ s), C 1 (s), ˆ
ξ 1 (s). On fixe un sous-espace hyperspécial ˜
K
1 (˜ s)
de ˜
G
1 (˜ s; F ) se projetant sur un espace ˜
K
(˜ s) de ˜
G
(˜ s; F ) associé à ˜
K. On utilise
le facteur de transfert associé à cet espace. Ainsi, un élément δ
∈ D
st
g´ eom (M
)
s’identifie à un élément δ
1 (˜ s) ∈ D
st
g´ eom,λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F )). On pose
s
G
(˜ s)
M (δ
, ˜
K) = s ˜
M
1 (˜ s),λ1 (δ
1 (˜ s), ˜
K
1 (˜ s)).
Cela ne dépend pas des choix de données auxiliaires.