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Chapitre II. Enoncés des résultats
G
(s) = (G
(s), G
(s), s) de (G, ˜
G), qui est non ramifiée. Supposons-la elliptique.
Alors A
G
(s)
M
A
G
M et on choisit pour mesure sur le premier espace l’image par
cet isomorphisme de la mesure fixée sur le second. On va définir une forme linéaire
s
G
(s)
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M). On associe à l’espace ˜
K un espace hyperspécial ˜
K
(s)
de ˜
G
(s), dont la classe de conjugaison par G
(s) AD (F ) est uniquement déterminée, cf. [I] 6.2. On choisit des données auxiliaires G
1 (s), ˜
G
1 (s), C 1 (s), ˆ
ξ 1 (s) non
ramifiées (cf. [I] 6.3). On choisit un sous-espace hyperspécial ˜
K
1 (s) de ˜
G
1 (s) se
projetant sur ˜
K
(s). On note Δ 1 (s) le facteur de transfert associé à ce sous-espace,
cf. [I] 6.3. Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M). Par ce choix de facteur de transfert, cette distribution s’identifie à un élément δ 1 (s) ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (s)). Puisqu’on a supposé s = 1,
on peut supposer par récurrence que la forme linéaire s
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s)
(., ˜
K
1 (s)) est bien
définie. Un calcul formel utilisant par récurrence la propriété (1) montre que le
terme
s
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s)
(δ 1 (s), ˜
K
1 (s))
ne dépend pas des choix de données auxiliaires. On le note s
G
(s)
M
(δ, ˜
K), ce qui
définit la forme linéaire s
G
(s)
M
(., ˜
K).
On a défini au paragraphe précédent la forme linéaire
r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F )),
sous l’hypothèse que M était en bonne position relativement à K. Montrons que :
(3) sa restriction à D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ne dépend que de la classe de conjugaison de
˜
K par G AD (F ).
Soit g ∈ G AD (F ), posons ˜
K
= ad g ( ˜
K), K
= ad g (K) et supposons que
M est encore en bonne position relativement à K
. On peut fixer deux sous-tores
maximaux T et T
de M , définis sur F et maximalement déployés, de sorte que K,
resp. K
, soit le fixateur d’un point hyperspécial dans l’appartement de l’immeuble
de G associé à T , resp. T
. Les tores T et T
sont conjugués par M (F ). On peut
donc fixer m ∈ M (F ) tel que ad m (T ) = T
. Posons K
= ad m −1 (K
). Alors K et
K
sont les fixateurs de points hyperspéciaux dans l’appartement de l’immeuble
de G associé à T . On sait que deux tels points se déduisent l’un de l’autre par
l’action d’un élément du normalisateur de T dans G AD (F ). Puisque de plus, le
normalisateur de T dans K se projette surjectivement sur le groupe de Weyl de
T , nos deux points se déduisent en fait l’un de l’autre par l’action d’un élément
de T ad (F ). Soit donc t ∈ T ad (F ) tel que K
= ad t (K). Alors ad mt (K) = K
, donc
ad g −1 mt conserve K, donc g
−1 mt ∈ K ad . Dans notre situation à torsion intérieure,
cela entraîne que ad g −1 mt conserve ˜
K. Donc ˜
K
= ad mt ( ˜
K). Cela montre qu’il
existe x ∈ M ad (F ) tel que ˜
K
= ad x ( ˜
K). Par simple transport de structure, on a
l’égalité
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(ad x (γ), ˜
K
)
Chapitre II. Enoncés des résultats
G
(s) = (G
(s), G
(s), s) de (G, ˜
G), qui est non ramifiée. Supposons-la elliptique.
Alors A
G
(s)
M
A
G
M et on choisit pour mesure sur le premier espace l’image par
cet isomorphisme de la mesure fixée sur le second. On va définir une forme linéaire
s
G
(s)
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom (M). On associe à l’espace ˜
K un espace hyperspécial ˜
K
(s)
de ˜
G
(s), dont la classe de conjugaison par G
(s) AD (F ) est uniquement déterminée, cf. [I] 6.2. On choisit des données auxiliaires G
1 (s), ˜
G
1 (s), C 1 (s), ˆ
ξ 1 (s) non
ramifiées (cf. [I] 6.3). On choisit un sous-espace hyperspécial ˜
K
1 (s) de ˜
G
1 (s) se
projetant sur ˜
K
(s). On note Δ 1 (s) le facteur de transfert associé à ce sous-espace,
cf. [I] 6.3. Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M). Par ce choix de facteur de transfert, cette distribution s’identifie à un élément δ 1 (s) ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (s)). Puisqu’on a supposé s = 1,
on peut supposer par récurrence que la forme linéaire s
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s)
(., ˜
K
1 (s)) est bien
définie. Un calcul formel utilisant par récurrence la propriété (1) montre que le
terme
s
˜
G
1 (s)
˜
M
1 (s)
(δ 1 (s), ˜
K
1 (s))
ne dépend pas des choix de données auxiliaires. On le note s
G
(s)
M
(δ, ˜
K), ce qui
définit la forme linéaire s
G
(s)
M
(., ˜
K).
On a défini au paragraphe précédent la forme linéaire
r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F )),
sous l’hypothèse que M était en bonne position relativement à K. Montrons que :
(3) sa restriction à D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ne dépend que de la classe de conjugaison de
˜
K par G AD (F ).
Soit g ∈ G AD (F ), posons ˜
K
= ad g ( ˜
K), K
= ad g (K) et supposons que
M est encore en bonne position relativement à K
. On peut fixer deux sous-tores
maximaux T et T
de M , définis sur F et maximalement déployés, de sorte que K,
resp. K
, soit le fixateur d’un point hyperspécial dans l’appartement de l’immeuble
de G associé à T , resp. T
. Les tores T et T
sont conjugués par M (F ). On peut
donc fixer m ∈ M (F ) tel que ad m (T ) = T
. Posons K
= ad m −1 (K
). Alors K et
K
sont les fixateurs de points hyperspéciaux dans l’appartement de l’immeuble
de G associé à T . On sait que deux tels points se déduisent l’un de l’autre par
l’action d’un élément du normalisateur de T dans G AD (F ). Puisque de plus, le
normalisateur de T dans K se projette surjectivement sur le groupe de Weyl de
T , nos deux points se déduisent en fait l’un de l’autre par l’action d’un élément
de T ad (F ). Soit donc t ∈ T ad (F ) tel que K
= ad t (K). Alors ad mt (K) = K
, donc
ad g −1 mt conserve K, donc g
−1 mt ∈ K ad . Dans notre situation à torsion intérieure,
cela entraîne que ad g −1 mt conserve ˜
K. Donc ˜
K
= ad mt ( ˜
K). Cela montre qu’il
existe x ∈ M ad (F ) tel que ˜
K
= ad x ( ˜
K). Par simple transport de structure, on a
l’égalité
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = r
˜
G
˜
M
(ad x (γ), ˜
K
)