II.4. Le cas non ramifié
301
Soit ˜
Q = ˜
LU Q ∈ F( ˜
M ). On a l’égalité (1 ˜
K ) ˜
Q,ω = 1 ˜
K
˜
L , où ˜
K
˜
L = ˜
K ∩ ˜
L(F ).
En particulier, cette fonction ne dépend que de ˜
L. La formule habituelle de descente
des intégrales orbitales donne donc la formule suivante. Soient ˜
L ∈ L( ˜
M ) et γ ∈
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω). On a l’égalité
(1)
r
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , ˜
K) =
˜
L ∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
)r
˜
L
˜
M
(γ, ˜
K
˜
L
).
II.4.2 L’avatar stable
On suppose ici (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour tout espace de
Levi ˜
M de ˜
G, nous allons définir une forme linéaire s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F )).
Comme les intégrales orbitales pondérées, elle dépend de la mesure sur A
G
M fixée
en 1.2. La définition se faisant par récurrence, on doit commencer par quelques
formalités.
Notre forme linéaire vérifiera la propriété
(1) s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) ne dépend que de la classe de conjugaison de ˜
K par G AD (F ).
Remarquons que deux sous-groupes hyperspéciaux de G(F ) sont toujours
conjugués par G AD (F ) mais ce n’est pas le cas pour deux sous-espaces hyperspéciaux de ˜
G(F ). Pour deux tels sous-espaces ˜
K
et ˜
K
, on a seulement : il existe
g ∈ G AD (F ) et z ∈ Z(G; F ) de sorte que ˜
K
= z ad g ( ˜
K
).
Notre forme linéaire vérifiera aussi la propriété
(2) s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = 0 si le support de δ ne coupe pas ˜
K.
Considérons des extensions compatibles
1 → C 1 → G 1 → G → 1 et ˜
G 1 → ˜
G
où C 1 est un tore central induit, G 1 est non ramifié et ˜
G 1 est à torsion intérieure.
Soit λ 1 un caractère non ramifié de C 1 (F ). On fixe un espace hyperspécial ˜
K 1 de
˜
G 1 (F ) se projetant sur ˜
K. On a A
G1
M1 A
G
M et on choisit pour mesure sur le premier espace l’image par cet isomorphisme de la mesure fixée sur le second. On suppose définie la forme linéaire s
˜
G1
˜
M1
(., ˜
K 1 ) sur D
st
g´ eom ( ˜
M 1 (F )), vérifiant la propriété
(2). On définit une forme linéaire s
˜
G1
˜
M1,λ1
(., ˜
K 1 ) sur D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F )) de la façon
suivante. Soit δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F )). On choisit un élément ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M 1 (F ))
qui s’envoie sur δ par l’application 1.10(3). On pose
s
˜
G1
˜
M1,λ1
(δ, ˜
K 1 ) =
C1(F )
s
˜
G1
˜
M1
( ˙
δ
c , ˜
K 1 )λ 1 (c)
−1 dc.
La propriété (2) assure que cette intégrale est à support compact.
On note comme toujours M la donnée endoscopique «maximale» de (M, ˜
M ).
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , avec s = 1. On en déduit une donnée endoscopique
301
Soit ˜
Q = ˜
LU Q ∈ F( ˜
M ). On a l’égalité (1 ˜
K ) ˜
Q,ω = 1 ˜
K
˜
L , où ˜
K
˜
L = ˜
K ∩ ˜
L(F ).
En particulier, cette fonction ne dépend que de ˜
L. La formule habituelle de descente
des intégrales orbitales donne donc la formule suivante. Soient ˜
L ∈ L( ˜
M ) et γ ∈
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω). On a l’égalité
(1)
r
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , ˜
K) =
˜
L ∈L( ˜
M)
d
˜
G
˜
M
( ˜
L, ˜
L
)r
˜
L
˜
M
(γ, ˜
K
˜
L
).
II.4.2 L’avatar stable
On suppose ici (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour tout espace de
Levi ˜
M de ˜
G, nous allons définir une forme linéaire s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D
st
g´ eom ( ˜
M (F )).
Comme les intégrales orbitales pondérées, elle dépend de la mesure sur A
G
M fixée
en 1.2. La définition se faisant par récurrence, on doit commencer par quelques
formalités.
Notre forme linéaire vérifiera la propriété
(1) s
˜
G
˜
M
(., ˜
K) ne dépend que de la classe de conjugaison de ˜
K par G AD (F ).
Remarquons que deux sous-groupes hyperspéciaux de G(F ) sont toujours
conjugués par G AD (F ) mais ce n’est pas le cas pour deux sous-espaces hyperspéciaux de ˜
G(F ). Pour deux tels sous-espaces ˜
K
et ˜
K
, on a seulement : il existe
g ∈ G AD (F ) et z ∈ Z(G; F ) de sorte que ˜
K
= z ad g ( ˜
K
).
Notre forme linéaire vérifiera aussi la propriété
(2) s
˜
G
˜
M
(δ, ˜
K) = 0 si le support de δ ne coupe pas ˜
K.
Considérons des extensions compatibles
1 → C 1 → G 1 → G → 1 et ˜
G 1 → ˜
G
où C 1 est un tore central induit, G 1 est non ramifié et ˜
G 1 est à torsion intérieure.
Soit λ 1 un caractère non ramifié de C 1 (F ). On fixe un espace hyperspécial ˜
K 1 de
˜
G 1 (F ) se projetant sur ˜
K. On a A
G1
M1 A
G
M et on choisit pour mesure sur le premier espace l’image par cet isomorphisme de la mesure fixée sur le second. On suppose définie la forme linéaire s
˜
G1
˜
M1
(., ˜
K 1 ) sur D
st
g´ eom ( ˜
M 1 (F )), vérifiant la propriété
(2). On définit une forme linéaire s
˜
G1
˜
M1,λ1
(., ˜
K 1 ) sur D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F )) de la façon
suivante. Soit δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M 1 (F )). On choisit un élément ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M 1 (F ))
qui s’envoie sur δ par l’application 1.10(3). On pose
s
˜
G1
˜
M1,λ1
(δ, ˜
K 1 ) =
C1(F )
s
˜
G1
˜
M1
( ˙
δ
c , ˜
K 1 )λ 1 (c)
−1 dc.
La propriété (2) assure que cette intégrale est à support compact.
On note comme toujours M la donnée endoscopique «maximale» de (M, ˜
M ).
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , avec s = 1. On en déduit une donnée endoscopique