300
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.3.12 Termes ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) et induction
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G, M
= (M
,M
, ˜
ζ)
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a) et R
un groupe de
Levi de M
qui est relevant. On construit comme en [I] 3.4 un espace de Levi
˜
R de ˜
M qui lui correspond et une donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui est
elliptique et relevante. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
R(F ). On note O
la réunion des classes de conjugaison stable dans ˜
R
(F ) qui
correspondent à O.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, δ ∈ D g´ eom (R
, O
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en
position générale et proche de 1. On a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ
M
, a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
M
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L,E
J (R
, δ, a)
˜
M .
La démonstration est similaire à celle du (i) de la proposition 1.14.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. On a un lemme similaire en remplaçant
l’ensemble J
˜
G
˜
M
par J
˜
G
˜
M
(B O
˜
M ).
II.4 Le cas non ramifié
II.4.1 Intégrales orbitales pondérées de la fonction caractéristique
d’un espace hyperspécial
Dans toute cette section, on suppose (G, ˜
G, a) non ramifié et p grand. Précisément, on impose les hypothèses (1) à (4) de [I] 6.1 ainsi que l’hypothèse (Hyp) de
cette référence. Le groupe G(F ) est muni d’une mesure canonique pour laquelle
mes(K) = 1 pour tout sous-groupe compact hyperspécial K de G(F ) (rappelons
que deux tels sous-groupes sont conjugués par le groupe G AD (F ))). On munit
G(F ) de cette mesure et on se débarrasse ainsi des espaces de mesures intervenant dans les sections précédentes. On fera de même pour les autres groupes non
ramifiés qui interviendront.
On fixe un sous-espace hyperspécial ˜
K de ˜
G(F ), on note K le sous-groupe
hyperspécial de G(F ) associé. On note 1 ˜
K la fonction caractéristique de ˜
K. Soit
˜
M un espace de Levi de ˜
G tel que M soit en bonne position relativement à K. On
définit une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
K )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω).
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.3.12 Termes ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) et induction
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G, M
= (M
,M
, ˜
ζ)
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a) et R
un groupe de
Levi de M
qui est relevant. On construit comme en [I] 3.4 un espace de Levi
˜
R de ˜
M qui lui correspond et une donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui est
elliptique et relevante. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
R(F ). On note O
la réunion des classes de conjugaison stable dans ˜
R
(F ) qui
correspondent à O.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, δ ∈ D g´ eom (R
, O
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en
position générale et proche de 1. On a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ
M
, a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
M
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L,E
J (R
, δ, a)
˜
M .
La démonstration est similaire à celle du (i) de la proposition 1.14.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. On a un lemme similaire en remplaçant
l’ensemble J
˜
G
˜
M
par J
˜
G
˜
M
(B O
˜
M ).
II.4 Le cas non ramifié
II.4.1 Intégrales orbitales pondérées de la fonction caractéristique
d’un espace hyperspécial
Dans toute cette section, on suppose (G, ˜
G, a) non ramifié et p grand. Précisément, on impose les hypothèses (1) à (4) de [I] 6.1 ainsi que l’hypothèse (Hyp) de
cette référence. Le groupe G(F ) est muni d’une mesure canonique pour laquelle
mes(K) = 1 pour tout sous-groupe compact hyperspécial K de G(F ) (rappelons
que deux tels sous-groupes sont conjugués par le groupe G AD (F ))). On munit
G(F ) de cette mesure et on se débarrasse ainsi des espaces de mesures intervenant dans les sections précédentes. On fera de même pour les autres groupes non
ramifiés qui interviendront.
On fixe un sous-espace hyperspécial ˜
K de ˜
G(F ), on note K le sous-groupe
hyperspécial de G(F ) associé. On note 1 ˜
K la fonction caractéristique de ˜
K. Soit
˜
M un espace de Levi de ˜
G tel que M soit en bonne position relativement à K. On
définit une forme linéaire r
˜
G
˜
M
(., ˜
K) sur D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) par
r
˜
G
˜
M
(γ, ˜
K) = J
˜
G
˜
M
(γ, 1 ˜
K )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω).